??正多面體我們非常熟悉，比如一些結(jié)晶體就是特殊的多面體，它們的每個(gè)面都是全等的正多? 面形，由此我們得到正多邊形的定義:

? ? ? ? ? ? ?每個(gè)面都全等，且每個(gè)立體角都全等的多邊體就是正多面體

? ?

???補(bǔ)充:如下就是以A為頂點(diǎn)的立體角

? ? 歐拉公式

令E為多面體的棱數(shù)，V表示頂點(diǎn)數(shù)，F(xiàn)表示面數(shù)，則有以下式子成立：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? E=V+F-2

證明：若只有一個(gè)面，則

若有兩個(gè)面，則

若有三個(gè)面（如下圖）

此時(shí)，必有2條或3條棱4個(gè)頂點(diǎn)重合,因此，增加的棱數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)多1。故下式成立：

當(dāng)填加第F個(gè)面時(shí)，面的棱和頂點(diǎn)都會(huì)與其他的面重合；故：

正多面體只有5個(gè)？是的，這個(gè)問題看似很簡(jiǎn)單，只要用頂點(diǎn)度數(shù)合小于360。（這里存在不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤?，即用一種多邊形到底可以得到幾種多面體）但是這里給出另一種答案

設(shè)多面體每個(gè)面邊數(shù)為m，F(xiàn)個(gè)面有mF條棱，則

設(shè)多面體每個(gè)頂點(diǎn)上的多面角有n條棱，V個(gè)頂點(diǎn)有nV條棱，則

帶入歐拉公式，得

由于多面角的面角合為小于360，若用正三角形拼則只有三，四，五面角

所以，當(dāng)m=3時(shí),若n=3，E=6,F=4

n=4,E=12,F=8

n=5,E=30,F=20

當(dāng)用的面為正方形時(shí)，m=4,n=3得E=12,F=6

當(dāng)用的面為正五邊形時(shí)，m=5,n=3得E=30,F=12

分析上面的數(shù)據(jù)后，我們可以只有5個(gè)正多面體了，其實(shí)這是很有趣的，不是嗎？