史濟懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線性微分方程的一般理論

二階線性微分方程——形如y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，p（x），q（x），f（x）在（a，b）連續(xù)。

二階線性微分方程的齊次方程——當(dāng)f（x）=0，即形如y''+p（x）y'+q（x）y=0的關(guān)系式。

初值問題，給定初始條件yx=x0=y0，y'x=x0=y'0，x0屬于（a，b），y0，y'0是任意常數(shù)。

問題：這個定解問題（一方面滿足給定二階線性微分方程，一方面滿足給定的初值條件）是否有解？

解的存在唯一性定理：上述定解問題的解存在而且唯一。

&3.1二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)

二階齊次線性方程——y''+p（x）y'+q（x）y=0

定理：設(shè)y1（x），y2（x）是二階齊次線性方程的兩個解，則c1y1（x）+c2y2（x）也是該方程的解。

問題：兩個解是不是可以表示出該方程所有的解？

回答：不是的，比如解y1（x）=x與y2（x）=2x沒有實質(zhì)性區(qū)別?！牒瘮?shù)線性無關(guān)的概念。

定義：設(shè)?φ1（x），……?，φm（x）是定義在（a，b）上的m個函數(shù)，如果存在不全為0的c1，……，cm，使得c1φ1（x）+……+cmφm（x）=0，x屬于（a，b）就稱φ1（x），……?，φm（x）在（a，b）上線性相關(guān)，否則，稱為線性無關(guān)的。? ?