? ? ? ? 前些天刷到很火的火柴人視頻，想起大學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)有天老師給的分組討論給的題目就是一些經(jīng)典題目的證明，不是說(shuō)讓你從頭到尾證明一遍如果那樣照抄就可以了，而是充分發(fā)揮想象力，或者加入自己的一些見(jiàn)解，原則是不能比高數(shù)課本上圓面積的證明更差勁即可——用我們老師的原話那個(gè)證明邏輯上的嚴(yán)密程度還不如小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)課本上圓面積的證明，當(dāng)然這是題外話。給的題目有最速降線問(wèn)題、歐拉公式、伯努利原理等等，倒霉催的組長(zhǎng)抽到歐拉公式，不過(guò)還好沒(méi)有抽到懸鏈線公式問(wèn)題。幾個(gè)人分工操作一番也算交了作業(yè)，現(xiàn)在回想起來(lái)也挺有意思，也發(fā)出來(lái)圖一樂(lè)吧，事先聲明這個(gè)不是嚴(yán)格證明，但關(guān)鍵步驟均使用Wolframα軟件進(jìn)行驗(yàn)算了。以下進(jìn)入正題：

(1)當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí), lim(1+x/n)^n=e^x；

(2)左邊的極限換一種寫(xiě)法(1+x/n)^n=(1+x/n)* (1+x/n) * (1+x/n)……一直乘n次，

? ? ? ? 此時(shí)考慮一個(gè)問(wèn)題：

? ? ? ? x取值為πi時(shí)會(huì)發(fā)生什么？

(3)為好理解寫(xiě)回原來(lái)式子 lim(1+πi/n)^n當(dāng)n=1時(shí)，我們?cè)趶?fù)平面上畫(huà)圖：

? ? ? 此時(shí)我們可以看到n取值1時(shí)，這個(gè)極限其值D為1+πi，

注:(該極限如果要從頭到尾詳細(xì)說(shuō)明是相當(dāng)繁瑣，如果實(shí)在理解不了你可以馬后炮的說(shuō)極限一定存在)

? ? ? ? 如果n取2呢？3呢？……一直到n，復(fù)平面上會(huì)發(fā)生什么？取值2的情況比較簡(jiǎn)單省略，我們直接看取3的情況

(3)當(dāng)n取3時(shí)

? ? ? ? 易知AC=1, CD=π/3, 根據(jù)棣莫弗定理(證明過(guò)程為四則運(yùn)算此處不累述)，△ACD，△ADG， △AGE均相似且為直角三角形，顯然這些相似三角形中，頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的角均相等；

? ? ? ? 眼尖的人此時(shí)已經(jīng)知道極限的往哪里奔了！

(4)取值為n的情況又如何呢？此時(shí)我們得到n個(gè)三角形，我們先看第一個(gè)小三角形：

4.1對(duì)于△ACD，顯然此時(shí)AC=1，CD=π/n，n趨向于無(wú)窮大時(shí)AD的極限為1，證明過(guò)于簡(jiǎn)單且地方不夠大就不寫(xiě)了。

? ? ? ? 此時(shí)可順便求得∠DAC=arctg(π/n)，這個(gè)后面會(huì)用到

4.2接下來(lái)我們?cè)倏吹趎個(gè)小三角形：

? ? ? ? 由棣莫弗定理可知所有小三角形頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的夾角均相等；

? ? ? ? ∠EAF記為角α；

? ? ? ? 則第n個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度AF=lim sec^n(α),as α->0,n->+∞(n為正整數(shù))

? ? ? ? 該極限的值為1；

4.3對(duì)于這n個(gè)三角形，頂點(diǎn)為A的所有角的和lim n(arctg(π/n)),as n->∞，易知該極限值為π——諸位有頭鐵的在這里可以去求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角所對(duì)應(yīng)的那條直角邊的和，n趨向于無(wú)窮大時(shí)，該極限存在而且正好也是π。所以第1個(gè)和第n個(gè)三角形的斜邊在n->∞時(shí)斜邊的長(zhǎng)度趨向于1，n個(gè)三角形以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角之和為π，那么該點(diǎn)為復(fù)平面上實(shí)軸-1的位置。

綜上所述，

n趨向于無(wú)窮大時(shí)；

lim(1+x/n)^n=e^x；

lim(1+πi/n)^n=e^πi；

lim(1+πi/n)^n=-1；

e^πi=-1