題一、
已知x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)=1,
求(x2+x)/(y+z)+(y2+y)/(x+z)+(z2+z)/(x+y)

分析題目
分析題目，已知為三位分式代數(shù)式何為1，所求為三元分式代數(shù)式，只是分子變成了二次多項式，看似無從下手，不過我們拆分一下所求代數(shù)式的分子后發(fā)現(xiàn)，拆出來分子是一次項的湊到一起剛好是已知條件，那也就是要求分子式二次項的三個分式之和即可。如何構(gòu)造二次項呢，那顯然直接已知條件等號兩邊同時乘以三元何即可，據(jù)此分析我們來逐步整理求解，

首先，已知等號兩邊同時乘以X+Y+Z得到，
(x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y))(x+y+z)=x+y+z

展開括號后得到，
x(x+y+z)/(y+z)+y(x+y+z)/(x+z)+z(x+y+z)/(x+y)=x+y+z

繼續(xù)展開三個分式的分子，但注意我們只需要展開出來所需要的二次項即可，即得到，
(x2+x)(y+z)/(y+z)+(y2+y)(x+z)/(x+z)+(z2+z)(x+y)/(x+y)=x+y+z

此時我們很容易發(fā)現(xiàn)，再次拆分分子后，二次項湊到一起就是我們所需要的代數(shù)式，剩下的項次都可以與分母約分將分母直接約掉了，即得到，
x2/(y+z)+x+y2/(x+z)+y+z2/(x+y)+z=x+y+z

此時，等號兩邊剛好將X，Y，Z都抵消掉了，剩下來的就是我們所需要的代數(shù)式，即得到，
x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/(x+y)=0

則所求的代數(shù)式，
(x2+x)/(y+z)+(y2+y)/(x+z)+(z2+z)/(x+y)

直接拆分分子后，將二次項湊到一起，即得到，
x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/(x+y)

將一次項湊到一起，即得到，
x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)，

合起來即為：
x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/(x+y)+x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)

可以看出前三項分式的和是我們剛才求得的值為0，后三項分式的和是已知條件值為1，則最后算得
(x2+x)/(y+z)+(y2+y)/(x+z)+(z2+z)/(x+y)=1

參考答案