（看評論的好處就是能看到提醒，這節(jié)的提醒是“勿忘主線”，主線就是78節(jié)后20分鐘、79節(jié)前10分鐘）

1.上節(jié)課收尾：兩個(gè)例子表明Weierstrass判別法的局限。

例1.69：該函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某區(qū)間一致收斂（用Dirichlet判別法推得），但絕對值級數(shù)發(fā)散。

例1.70：該函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某區(qū)間一致收斂（用Dirichlet判別法推得），絕對值級數(shù)收斂，但絕對值級數(shù)不一致收斂。

2.極限函數(shù)的連續(xù)性。

①內(nèi)容：若函數(shù)列fn在I上連續(xù)，則極限函數(shù)f在I上連續(xù)的一個(gè)充分條件是fn一致收斂于f。

②證明：三分法，分別用連續(xù)和一致收斂的ε—δ定義。

③一致連續(xù)不是必要條件。

④因?yàn)楹瘮?shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)相對應(yīng)，所以立即推出：和函數(shù)的連續(xù)性。即要讓Cauchy說的“若連續(xù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則和函數(shù)也連續(xù)”成立，一個(gè)充分條件是讓這里的收斂是一致收斂。

3.極限函數(shù)逐項(xiàng)取極限定理。

①內(nèi)容：把“2”里函數(shù)列fn連續(xù)削弱為函數(shù)列fn在一點(diǎn)x?有極限，則結(jié)論跟“2”類似，極限函數(shù)也在x?有極限。

②證明：三分法。

③因?yàn)楹瘮?shù)列和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)相對應(yīng)，所以可以立即推出：和函數(shù)版逐項(xiàng)取極限定理。

4.推論1.5。

①開區(qū)間奇妙的拓?fù)湫再|(zhì)推得，確保連續(xù)只需要內(nèi)閉一致連續(xù)就夠了。

②推論1.6，對應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)版。

例1.73。感受到了分析的一個(gè)魅力?！溉稳　?，“既任意又固定”的感覺。M固定時(shí)[–M,M]是閉區(qū)間、有界，同時(shí)M還可以趨于無窮。之前有一個(gè)證明就是，明明ε是無窮小，但是每次ε固定，都算作上界。