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垂足曲線方程的一般求法

2022-07-11 11:22 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過(guò) | 我要投稿

原視頻:BV1kT411g7Mw

設(shè) $(x_0%2Cy_0)$ 是曲線 $f(x%2Cy)%3D0$ 上的一點(diǎn)， $(x_1%2Cy_1)$ 是一個(gè)定點(diǎn)

則點(diǎn) $(x_0%2Cy_0)$ 關(guān)于曲線 $f(x%2Cy)%3D0$ 的切線方程為：

$y-y_0%3Dk(x-x_0)$

(其中k是切線斜率，需要通過(guò)對(duì)曲線進(jìn)行隱微分得到y(tǒng)'后代入坐標(biāo)解得，即k為關(guān)于x?和y?的表達(dá)式)

過(guò)點(diǎn) $(x_1%2Cy_1)$ 作該切線的垂線，其方程為：

$y-y_1%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20(x-x_1)$

聯(lián)立：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%20y-y_0%3Dk(x-x_0)%5C%5Cy-y_1%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%20(x-x_1)%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

解得：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%20x%3D%5Cfrac%7Bky_1%2Bx_1%2Bk%5E2x_0-ky_0%7D%7Bk%5E2%2B1%7D%20%5C%5C%0Ay%3D%5Cfrac%7Bk%5E2y_1%2Bkx_1-kx_0%2By_0%7D%7Bk%5E2%2B1%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

設(shè)垂足坐標(biāo)為：(x?,y?)

則

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%20x_2%3D%5Cfrac%7Bky_1%2Bx_1%2Bk%5E2x_0-ky_0%7D%7Bk%5E2%2B1%7D%20%5C%5C%0Ay_2%3D%5Cfrac%7Bk%5E2y_1%2Bkx_1-kx_0%2By_0%7D%7Bk%5E2%2B1%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

若方程組有解(變換可逆)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法，需把x?,y?當(dāng)成未知量解上述方程

將x?和y?用x?和y?表示

最后代入f(x?,y?)=0將x?,y?換成x?,y?即得垂足運(yùn)動(dòng)軌跡方程

若方程組無(wú)解(變換不可逆)，則采用其他方法，比如參數(shù)法

ps:有關(guān)相關(guān)點(diǎn)法的介紹和注意事項(xiàng)可參考該文章評(píng)論區(qū)置頂?shù)膶?/p>

上述是一般解法，需要具體的曲線具體分析，下面我們舉視頻中的例子來(lái)使用。

（1）圓 $x%5E2%2By%5E2%3Dr%5E2$

隱微分得： $2xdx%2B2ydy%3D0$

$y'%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%20$

則 $k%3D-%5Cfrac%7Bx_0%7D%7By_0%7D%20$

代入解方程，顯然比較困難，于是采用參數(shù)法：

令 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0Ax_0%3Drcost%20%5C%5C%0Ay_0%3Drsint%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

則 $k%3D-%5Cfrac%7Bcost%7D%7Bsint%7D%20$

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%20x_2%3D-y_1sintcost%2Bx_1sin%5E2t%2Brcos%5E3t%2Brsin%5E2tcost%5C%5C%0Ay_2%3Dy_1cos%5E2t-x_1sintcost%2Brsintcos%5E2t%2Brsin%5E3t%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

上述即圓關(guān)于點(diǎn)(x?,y?)的垂足曲線的參數(shù)方程

當(dāng)綠點(diǎn)(定點(diǎn))在圓上時(shí)：

(2)拋物線 $y%3Dax%5E2$

$y'%3D2ax$

則 $k%3D2ax_0$

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%20x_2%3D%5Cfrac%7B2ax_0y_1%2Bx_1%2B2a%5E2x_0%5E3%7D%7B4a%5E2x_0%5E2%2B1%7D%20%20%5C%5C%0Ay_2%3D%5Cfrac%7B4a%5E2x_0%5E2y_1%2B2ax_1x_0-ax_0%5E2%7D%7B4a%5E2x_0%5E2%2B1%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

上述為關(guān)于x?,y?的方程，仍比較困難

因此需采用其他方法，如參數(shù)法

令 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%20x_0%3Dt%20%5C%5C%0Ay_0%3Dat%5E2%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

則 $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A%20x_2%3D%5Cfrac%7B2aty_1%2Bx_1%2B2a%5E2t%5E3%7D%7B4a%5E2t%5E2%2B1%7D%20%20%5C%5C%0Ay_2%3D%5Cfrac%7B4a%5E2t%5E2y_1%2B2ax_1t-at%5E2%7D%7B4a%5E2t%5E2%2B1%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$