歐拉是十八世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其一生數(shù)學(xué)成果不計其數(shù)，而復(fù)變函數(shù)里的歐拉公式e＾（ix）=cosx+isinx，特別是其當(dāng)x=π時的特殊形式e＾iπ

+1=0更是被譽為古往今來最美公式，這條公式將數(shù)學(xué)最重要的5個基本常數(shù)——自然對數(shù)的底e，圓周率π，實數(shù)單位1，虛數(shù)單位i，以及正負(fù)數(shù)分界線0，使得公式有一種獨特的美感。本期為大家?guī)硪粋€簡單的理解證明。

還記得我之前提到的泰勒展開嗎？我們對e＾x展開，得到

我們把指數(shù)項換成ix（事實上這一步是否合理值得討論，我更傾向這是對復(fù)數(shù)指數(shù)冪的一種定義），代入等式右邊得到

朋友們，最妙的一步來了還記得我之前的這篇專欄嗎

 cosx和sinx剛好就是上面復(fù)數(shù)指數(shù)冪的展開的實部和虛部啊

所以上面的式子就可以寫成

也就是本期主題歐拉公式了

好了，本期專欄就到這里，有問題可以私信評論或加Q1748475972

再見