Quantum Physics I, Lecture Note 1 | Quantum Physics I | Physics | MIT OpenCourseWare

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Chapter 1: Key Features of Quantum Mechanics

?? ?量子力學(xué)現(xiàn)在已經(jīng)快100年了，但我們?nèi)匀辉诎l(fā)現(xiàn)它一些驚人的特性，它仍然是許多研究和推測(cè)的主題。量子力學(xué)的框架是經(jīng)典物理框架的一個(gè)豐富而優(yōu)雅的擴(kuò)展。它也是違反直覺(jué)的，也幾乎是矛盾的。

? ??量子物理學(xué)已經(jīng)取代了經(jīng)典物理學(xué)，成為我們物理宇宙的正確基本描述。它通常用于描述在短距離下發(fā)生的大多數(shù)現(xiàn)象。量子物理學(xué)是將量子力學(xué)框架應(yīng)用于不同的物理現(xiàn)象得出的結(jié)果。因此，當(dāng)量子力學(xué)應(yīng)用于電磁學(xué)時(shí)，我們就有了量子電動(dòng)力學(xué)；當(dāng)它應(yīng)用于光學(xué)和光學(xué)設(shè)備時(shí)，我們就有了量子光學(xué)；當(dāng)它應(yīng)用于引力時(shí)，我們就有了量子引力學(xué)。量子力學(xué)確實(shí)提供了一個(gè)非常協(xié)調(diào)和優(yōu)雅的框架。量子物理學(xué)的時(shí)代始于1925年，由Schr?dinger和Heisenberg的發(fā)現(xiàn)開(kāi)啟。這些發(fā)現(xiàn)的種子由Planck、Einstein、Bohr、de Broglie等人種下。人類想象力的表現(xiàn)在于我們能夠發(fā)現(xiàn)定義量子力學(xué)的違反直覺(jué)和抽象的一套規(guī)則。在這里，我們旨在解釋和提供一些關(guān)于這個(gè)框架的主要特點(diǎn)的觀點(diǎn)。

? ??我們將首先討論線性性質(zhì)，這是量子力學(xué)與電磁理論共享的特性。這個(gè)屬性告訴我們量子力學(xué)是什么樣的理論，以及為什么可以說(shuō)它比經(jīng)典力學(xué)更簡(jiǎn)單。接下來(lái)，我們轉(zhuǎn)向光子，即光的粒子。我們使用光子和偏振器來(lái)解釋為什么量子物理學(xué)不是確定性的，與經(jīng)典物理學(xué)相反，某些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果無(wú)法預(yù)測(cè)。量子力學(xué)是一個(gè)框架，在其中我們只能預(yù)測(cè)任何給定實(shí)驗(yàn)的各種結(jié)果的概率。接下來(lái)我們將討論量子疊加，其中量子物體以某種方式成功地同時(shí)存在于兩種相互不兼容的狀態(tài)中。例如，一個(gè)量子燈泡可以處于同時(shí)開(kāi)啟和關(guān)閉的狀態(tài)！

1 Linearity of the equations of motion（運(yùn)動(dòng)方程的線性性）

? ? 在物理學(xué)中，一個(gè)理論通常由一組描述該理論的動(dòng)態(tài)變量的方程式來(lái)描述。在寫(xiě)出一個(gè)理論之后，最重要的任務(wù)是找到方程的解。方程的解描述了該理論下的可能現(xiàn)實(shí)。例如，由于宇宙膨脹是阿爾伯特·愛(ài)因斯坦引力方程的一個(gè)解，因此根據(jù)這個(gè)理論，宇宙膨脹是可能存在的。一個(gè)單一的理論可能有許多解，每個(gè)解都描述了一個(gè)可能的現(xiàn)實(shí)。

? ??存在線性理論和非線性理論。非線性理論比線性理論更為復(fù)雜。在線性理論中，有一個(gè)顯著的事實(shí)：如果你有兩個(gè)解，只需將這兩個(gè)解相加，你就能得到該理論的第三個(gè)解。一個(gè)美麗的線性理論的例子是麥克斯韋的電磁理論，該理論控制著電場(chǎng)和磁場(chǎng)的行為。一個(gè)場(chǎng)，正如你可能知道的那樣，是一個(gè)其值可能取決于位置和時(shí)間的量。這個(gè)理論的一個(gè)簡(jiǎn)單解描述了沿著特定方向傳播的電磁波。

? ??另一個(gè)簡(jiǎn)單的解可以描述一個(gè)以不同方向傳播的電磁波。由于該理論是線性的，兩個(gè)波可以同時(shí)傳播，每個(gè)波以自己的方向傳播，而不相互影響，這是一個(gè)新的、一致的解?？偤褪且环N解，因?yàn)樾陆庵械碾妶?chǎng)是第一個(gè)解中的電場(chǎng)和第二個(gè)解中的電場(chǎng)之和。磁場(chǎng)也是如此：新解中的磁場(chǎng)是第一個(gè)解中的磁場(chǎng)和第二個(gè)解中的磁場(chǎng)之和。實(shí)際上，你可以添加任意數(shù)量的解，仍然能夠找到一種解。即使這聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)玄學(xué)，你也完全熟悉它。你周?chē)目諝獬錆M了電磁波，每個(gè)電磁波都不會(huì)影響其他電磁波的傳播。有數(shù)千部手機(jī)的波，數(shù)百條無(wú)線網(wǎng)絡(luò)消息的波，來(lái)自眾多無(wú)線電臺(tái)、電視臺(tái)的波，以及許多其他的波。今天，一條跨大西洋的電纜可以同時(shí)承載數(shù)百萬(wàn)個(gè)電話呼叫，以及大量的視頻和互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)。所有這些都得益于線性性質(zhì)。

? ??更具體地說(shuō)，我們說(shuō)麥克斯韋方程是線性方程。麥克斯韋方程的解由電場(chǎng)E、磁場(chǎng)B、電荷密度ρ和電流密度J組成，全部表示為(E,B,ρ,J)。這些場(chǎng)和源滿足麥克斯韋方程。線性性意味著如果(E,B,ρ,J)是一個(gè)解，那么(αE,αB,αρ,αJ)也是一個(gè)解，其中所有場(chǎng)和源都乘以常量α。給定兩個(gè)解

(E1,B1,ρ1,J1)和(E2,B2,ρ2,J2)，? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1.1）

線性性還意味著我們可以通過(guò)將它們相加得到一個(gè)新的解

(E1 + E2, B1 + B2, ρ1 + ρ2, J1 + J2)。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1.2）

新解可以稱為兩個(gè)原始解的疊加。? ?

? ? 很容易解釋一般情況下什么是線性方程或線性方程組。考慮方程

L u = 0,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1.3)

其中，簡(jiǎn)要地說(shuō)，u表示未知量。未知量可以是一個(gè)數(shù)，也可以是時(shí)間的函數(shù)、空間的函數(shù)、時(shí)間和空間的函數(shù)，基本上可以是任何未知量！實(shí)際上，u可以代表一組未知量，這種情況下我們將上面的u替換為u1、u2等。符號(hào)L表示線性算符，它滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：

L(u1 + u2) = Lu1 + Lu2, L(a u) = aLu,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1.4)?

其中a是一個(gè)數(shù)。注意，這些條件意味著?

L(αu1 + βu2) = αLu1 + βLu2，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1.5)?

這表明如果u1是一個(gè)解(Lu1 = 0)，u2是另一個(gè)解(Lu2 = 0)，那么αu1 + βu2也是一個(gè)解。我們稱αu1 + βu2為解u1和u2的一般疊加。下面是一個(gè)例子，考慮方程

其中τ是一個(gè)帶有時(shí)間單位的常數(shù)。實(shí)際上，這是一個(gè)線性微分方程，如果我們定義，則采用L u = 0的形式

練習(xí)1. 驗(yàn)證 (1.7) 滿足線性算符的條件。

? ??愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論是一種非線性理論，其動(dòng)力學(xué)變量是重力場(chǎng)，即描述行星如何繞星移動(dòng)的場(chǎng)。作為一種非線性理論，您不能簡(jiǎn)單地將不同解的重力場(chǎng)相加以找到新解。這使得愛(ài)因斯坦的理論相當(dāng)復(fù)雜，據(jù)所有報(bào)告，比麥克斯韋理論要復(fù)雜得多。事實(shí)上，經(jīng)典力學(xué)，主要由艾薩克·牛頓發(fā)明，也是一種非線性理論！在經(jīng)典力學(xué)中，動(dòng)力學(xué)變量是受力粒子的位置和速度。沒(méi)有一般方法可以使用兩個(gè)解來(lái)構(gòu)建第三個(gè)。

實(shí)際上，考慮一個(gè)粒子在受時(shí)間無(wú)關(guān)勢(shì)能V（x）作用下在線上的運(yùn)動(dòng)方程，其中V（x）是x的任意函數(shù)。這個(gè)問(wèn)題中的動(dòng)態(tài)變量是x（t），表示時(shí)間的位置函數(shù)。令V0表示V相對(duì)于其自變量的導(dǎo)數(shù)，牛頓第二定律的形式為

左邊是質(zhì)量乘以加速度，右邊是粒子在勢(shì)能中受到的力。值得強(qiáng)調(diào)的是，右邊是函數(shù)V'(x)在x等于x(t)時(shí)的取值：

雖然我們可以在這里使用普通導(dǎo)數(shù)，但對(duì)于時(shí)間依賴的勢(shì)能的一般情況，通常會(huì)寫(xiě)成偏導(dǎo)數(shù)。方程（1.8）不是線性方程的原因是函數(shù) V‘(x) 不是線性的。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于任意的函數(shù) u 和 v，我們期望有以下關(guān)系：

因此，對(duì)于給定的解x(t)，比例縮放的解αx(t)也不一定是解。對(duì)于給定的兩個(gè)解x1(t)和x2(t)，它們的和x1(t) + x2(t)也不一定是解。

練習(xí)? ?對(duì)于使x（t）的運(yùn)動(dòng)方程是線性的最一般的勢(shì)V（x）是什么？

? ??量子力學(xué)是一種線性理論。這個(gè)理論的標(biāo)準(zhǔn)方程，也被稱為薛定諤方程，對(duì)于一個(gè)稱為波函數(shù)的量是線性的，并且它確定了波函數(shù)的時(shí)間演化。波函數(shù)是量子力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)變量，但奇怪的是，當(dāng)埃爾溫·薛定諤在1925年寫(xiě)出這個(gè)方程時(shí)，其物理解釋并不清楚。幾個(gè)月后，馬克斯·玻恩建議波函數(shù)給出的是概率。這是正確的物理解釋，但它被許多人，包括薛定諤本人徹底地不喜歡。量子力學(xué)的線性性意味著深層的簡(jiǎn)單性。在某種意義上，量子力學(xué)比經(jīng)典力學(xué)更簡(jiǎn)單。在量子力學(xué)中，可以將解相加形成新的解。

? ??波函數(shù)Ψ隨時(shí)間變化，也可能隨空間變化。薛定諤方程(SE)是一個(gè)偏微分方程，其形式為：

其中，哈密頓算符（或能量算符）H^ 是一個(gè)可以作用于波函數(shù)的線性算符：

其中一個(gè)常數(shù) a實(shí)際上不需要是實(shí)數(shù)，可以是一個(gè)復(fù)數(shù)。當(dāng)然，哈密頓量H本身并不依賴于波函數(shù)！為了檢驗(yàn)薛定諤方程的線性性，我們將其轉(zhuǎn)化為帶有L的形式 LΨ = 0，被定義為：

現(xiàn)在很容易驗(yàn)證 L 是一個(gè)線性算子。物理上這意味著如果 Ψ1 和 Ψ2 是薛定諤方程的解，則它們的疊加 αΨ1 + βΨ2，其中 α 和 β 都是復(fù)數(shù) (即 α，β ∈ C)，也是一個(gè)解。

（2023/5/3）

2 Complex Numbers are Essential （復(fù)數(shù)是必不可少的）

量子力學(xué)是第一個(gè)真正利用復(fù)數(shù)的物理學(xué)理論。我們?nèi)粘Ｉ钪惺褂玫臄?shù)字（整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)）都是實(shí)數(shù)。復(fù)數(shù)集合用C表示，實(shí)數(shù)集合用R表示。當(dāng)我們將實(shí)數(shù)與虛數(shù)單位i組合起來(lái)時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)單位i定義為平方根號(hào)負(fù)一：i √ ≡ ?1。作為平方根號(hào)負(fù)一，它意味著i的平方必須等于負(fù)一：i2 = ?1。復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中是基本的。例如，對(duì)于一個(gè)未知數(shù)x的方程x2 = ?4，如果要求x是實(shí)數(shù)，則無(wú)法解決。沒(méi)有實(shí)數(shù)的平方能得到負(fù)一。但是，如果我們?cè)试S使用復(fù)數(shù)，我們就可以得到解x = ±2i。數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，所有多項(xiàng)式方程都可以用復(fù)數(shù)解決。

? ??一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)復(fù)數(shù)z是這樣一種形式的數(shù)：

其中a和b是實(shí)數(shù)，ib表示i與b的乘積。數(shù)a稱為z的實(shí)部，數(shù)b稱為z的虛部：

復(fù)共軛數(shù)z*是由以下定義的：

你可以快速驗(yàn)證一個(gè)復(fù)數(shù)z是否為實(shí)數(shù)，如果z* = z，則它是實(shí)數(shù)；如果z* = ?z，則它是純虛數(shù)。對(duì)于任意復(fù)數(shù)z = a+ib，可以定義復(fù)數(shù)的模|z|為一個(gè)正實(shí)數(shù)，其給定方式為：

你可以快速檢查：

其中z* ≡ a - ib 被稱為z = a + ib的復(fù)共軛。復(fù)數(shù)在“復(fù)平面”中表示為向量。復(fù)數(shù)的實(shí)部是向量的x分量，虛部是y分量。如果你考慮復(fù)平面上與x軸成θ角的單位長(zhǎng)度向量，它的x分量是cosθ，y分量是sinθ。因此，該向量是復(fù)數(shù)cosθ + isinθ。歐拉恒等式將其與iθ的指數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)：

形如e^(iχ)的復(fù)數(shù)，其中χ是實(shí)數(shù)，稱為純相。

? ??盡管在經(jīng)典力學(xué)或麥克斯韋理論中，復(fù)數(shù)有時(shí)很有用，但它們并不是絕對(duì)必要的。對(duì)應(yīng)于可測(cè)量量的動(dòng)力學(xué)變量都不是復(fù)數(shù)。事實(shí)上，復(fù)數(shù)根本不能被測(cè)量：物理學(xué)中的所有測(cè)量結(jié)果都是實(shí)數(shù)。然而，在量子力學(xué)中，復(fù)數(shù)是基本的。薛定諤方程涉及到復(fù)數(shù)。更進(jìn)一步，量子力學(xué)的動(dòng)力學(xué)變量——波函數(shù)本身就是一個(gè)復(fù)數(shù)：

由于復(fù)數(shù)不能被測(cè)量，因此波函數(shù)與可測(cè)量量之間的關(guān)系必須是間接的。玻恩提出了將概率（始終為正實(shí)數(shù)）與波函數(shù)的模的平方等同起來(lái)的想法非常自然。如果我們將量子系統(tǒng)的波函數(shù)寫(xiě)作Ψ，則可能事件的概率由|Ψ|2計(jì)算。用于表達(dá)量子力學(xué)定律的數(shù)學(xué)框架包括復(fù)向量空間。在任何向量空間中，我們都有可以相加的對(duì)象稱為向量。在復(fù)向量空間中，向量乘以復(fù)數(shù)仍然是向量。在我們學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)，將波函數(shù)Ψ視為某些復(fù)向量空間中的向量經(jīng)常是有用的。

3 Loss of Determinism（喪失確定性）

麥克斯韋最重要的成就是意識(shí)到他的電磁學(xué)方程允許存在傳播波。特別地，在1865年，他猜測(cè)光是一種電磁波，即電場(chǎng)和磁場(chǎng)的傳播波動(dòng)。在隨后的實(shí)驗(yàn)中，他被證明是正確的。到了19世紀(jì)末，物理學(xué)家們確信光是一種波動(dòng)。然而，這種確定性并沒(méi)有持續(xù)太久。黑體輻射和光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)表明，光的行為必須比簡(jiǎn)單的波動(dòng)更加復(fù)雜。馬克斯·普朗克和阿爾伯特·愛(ài)因斯坦是解決這些實(shí)驗(yàn)引發(fā)的難題的最杰出的貢獻(xiàn)者。

為了解釋光電效應(yīng)的特性，愛(ài)因斯坦提出了（1905年）光能以量子形式存在的假設(shè) - 光束由能量的小包組成。愛(ài)因斯坦實(shí)際上是在暗示光是由粒子組成的，每個(gè)粒子攜帶固定數(shù)量的能量。他自己發(fā)現(xiàn)這個(gè)想法很令人不安，因?yàn)樗翊蠖鄶?shù)同時(shí)代人一樣相信，正如麥克斯韋所示，光是一種波。他預(yù)見(jiàn)到一個(gè)既能像粒子又能像波一樣表現(xiàn)的物理實(shí)體，如光，可能會(huì)帶來(lái)經(jīng)典物理學(xué)的消亡，并需要完全新的物理理論。他事實(shí)上是正確的。盡管他從未完全喜歡量子力學(xué)，但他關(guān)于光子（后來(lái)給出這個(gè)名字）的想法有助于建立這個(gè)理論。

物理學(xué)家們花了很長(zhǎng)時(shí)間才接受光可以像粒子一樣行為的觀點(diǎn)。阿瑟·康普頓（1923年）的實(shí)驗(yàn)最終說(shuō)服了大多數(shù)懷疑者?，F(xiàn)在，在世界各地的實(shí)驗(yàn)室中都可以對(duì)光子進(jìn)行常規(guī)操作，盡管它們還是很神秘的，但我們已經(jīng)習(xí)慣了它們。可見(jiàn)光的每個(gè)光子攜帶的能量非常小，一個(gè)小型激光脈沖可以包含數(shù)十億個(gè)光子。然而，我們的眼睛是一個(gè)非常好的光子探測(cè)器：在完全黑暗的情況下，只要有十個(gè)光子擊中我們的視網(wǎng)膜，我們就能看到光。當(dāng)我們說(shuō)光像粒子一樣行為時(shí)，我們指的是一個(gè)量子力學(xué)的粒子：一束能量和動(dòng)量的小包，它不是由更小的包組成的。我們并不是指經(jīng)典的點(diǎn)粒子或牛頓的小球體，后者是一個(gè)具有確定位置和速度的零尺寸對(duì)象。

? ? 實(shí)際上，一個(gè)光子的能量只取決于光的顏色。就像愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)的那樣，一個(gè)光子的能量 E 和頻率 ν 之間存在關(guān)系：

其中，h是普朗克常數(shù)。光子的頻率決定了光的波長(zhǎng)λ，其關(guān)系式為νλ = c，其中c是光速。例如，所有綠光子都具有相同的能量。如果要在保持相同顏色的光束中增加能量，只需要增加更多的光子即可。

? ??正如我們現(xiàn)在要解釋的那樣，光子的存在意味著量子力學(xué)是不確定的。這意味著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不能像在經(jīng)典物理中一樣由實(shí)驗(yàn)者所控制的條件來(lái)確定。

? ??考慮一個(gè)偏振器，其偏振方向沿著 x?軸，如圖1所示。沿著 x軸線性偏振的光，即電場(chǎng)沿著 x方向的光，可以通過(guò)偏振器。如果入射光的偏振與 x 方向垂直，光根本不會(huì)通過(guò)。因此，沿 $y$ 方向線性偏振的光將被偏振器完全吸收?，F(xiàn)在考慮一個(gè)與 x?軸成角度 alpha 偏振的光，如圖2所示。會(huì)發(fā)生什么呢？

? ? 將光看作傳播波，入射電場(chǎng) E_alpha 與 x 軸成 alpha 角，因此它的形式為：

這是一個(gè)振幅為E0的電場(chǎng)。在這里我們忽略波的時(shí)間和空間依賴性；它們與我們的討論無(wú)關(guān)。當(dāng)這個(gè)電場(chǎng)碰到偏振器時(shí)，沿著x?方向的分量穿過(guò)，沿著y?方向的分量被吸收。因此，

你可能還記得電磁波中的能量與電場(chǎng)的大小的平方成正比。這意味著穿過(guò)偏振器的光束能量的比例是(cos α)2。同時(shí)，眾所周知，從偏振器出射的光具有與入射光相同的頻率。

? ??到目前為止都好理解。但是現(xiàn)在，讓我們嘗試通過(guò)考慮組成入射光的光子來(lái)理解這個(gè)結(jié)果。這里的前提是，入射光束中的所有光子都是相同的。此外，光子彼此之間不相互作用。我們甚至可以想象一個(gè)接一個(gè)地發(fā)送整個(gè)入射光束的能量。由于所有從偏振器中發(fā)出的光具有與入射光相同的頻率，因此我們必須得出結(jié)論，每個(gè)單獨(dú)的光子要么通過(guò)，要么被吸收。如果光子的一部分通過(guò)，它將成為能量更低，因此頻率更低的光子，而這是不會(huì)發(fā)生的。

? ??但現(xiàn)在我們有了一個(gè)問(wèn)題。正如我們從波的分析中了解的那樣，大約 (cos α)2 的光子必須穿過(guò)，因?yàn)檫@是傳輸過(guò)去的能量的比例。因此，必須吸收 (1?cos2α) 的光子分?jǐn)?shù)。但如果所有光子都是相同的，為什么一個(gè)光子發(fā)生的事情不會(huì)發(fā)生在所有光子身上呢？

? ??答案在量子力學(xué)中是確實(shí)存在確定性的損失。沒(méi)有人能夠預(yù)測(cè)一個(gè)光子會(huì)穿過(guò)還是被吸收。最好的預(yù)測(cè)方式是預(yù)測(cè)概率。在這種情況下，光子通過(guò)的概率為(cos α)^2，不通過(guò)的概率為1 - (cos α)^2。

? ??兩個(gè)逃避路線呼之欲出。也許偏振器并不是一個(gè)均質(zhì)物體，取決于光子命中的確切位置，它可能會(huì)被吸收或穿透。但實(shí)驗(yàn)表明這不是情況。愛(ài)因斯坦和其他人提出了一種更有趣的可能性：存在隱藏變量。光子雖然看似相同，但可能具有其他隱藏的屬性，目前不理解，這些屬性將確切地決定哪個(gè)光子穿過(guò)，哪個(gè)光子被吸收。隱藏變量理論似乎是無(wú)法測(cè)試的，但令人驚訝的是，它們可以被測(cè)試。通過(guò)約翰·貝爾和其他人的工作，物理學(xué)家們?cè)O(shè)計(jì)了聰明的實(shí)驗(yàn)，排除了大多數(shù)隱藏變量理論。沒(méi)有人想出如何恢復(fù)量子力學(xué)的確定性。這似乎是一項(xiàng)不可能的任務(wù)。

? ??當(dāng)我們?cè)噲D用量子力學(xué)描述光子時(shí)，可以使用波函數(shù)或等效的狀態(tài)語(yǔ)言。沿x?方向偏振的光子不是用電場(chǎng)表示的，而是我們只是為其狀態(tài)命名：

我們將學(xué)習(xí)操縱這些對(duì)象所需的規(guī)則，但暫時(shí)您可以將其視為尚未定義的某個(gè)空間中的向量。光子的另一個(gè)狀態(tài)，或向量是：

我們現(xiàn)在聲稱，沿著方向α偏振的光子束中的光子處于一個(gè)狀態(tài)|photon; α>，可以寫(xiě)成上述兩個(gè)狀態(tài)的疊加：

這個(gè)方程式應(yīng)該和式(3.2)進(jìn)行比較。雖然有一些相似之處——它們都是疊加態(tài)——但一個(gè)是指電場(chǎng)，而另一個(gè)是指單個(gè)光子的“態(tài)”。從偏振器中發(fā)出的任何光子都必然是沿著x?方向偏振的，因此它將處于狀態(tài)

這個(gè)光子狀態(tài)可以與（3.3）進(jìn)行比較，其中帶有余弦α的因子攜帶有關(guān)波的振幅的信息。在這里，對(duì)于單個(gè)光子，沒(méi)有這樣的因子的余地。

? ??在1927年著名的第五次索爾維國(guó)際會(huì)議上，世界上最著名的物理學(xué)家聚集在一起，討論新制定的量子理論。29位與會(huì)者中，17位成為或曾獲得過(guò)諾貝爾獎(jiǎng)。不滿于量子力學(xué)中的不確定性，愛(ài)因斯坦說(shuō)了如今著名的話：“上帝不會(huì)擲骰子?！倍釥査埂げ枔?jù)說(shuō)回答道：“愛(ài)因斯坦，別再告訴上帝該怎么做了?！辈栐敢饨邮苁ゴ_定性的情況，而愛(ài)因斯坦則不愿意。

4 Quantum Superpositions（量子疊加態(tài)）

? ? 我們已經(jīng)討論了線性的概念；即表示物理現(xiàn)實(shí)的兩個(gè)解的總和表示一個(gè)新的、被允許的物理現(xiàn)實(shí)。在經(jīng)典物理中，這些解的疊加有一個(gè)直觀的含義。例如，在電磁學(xué)中，如果我們有兩個(gè)解，每個(gè)解都有自己的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，那么“和”解的含義就很簡(jiǎn)單：它的電場(chǎng)是這兩個(gè)解的電場(chǎng)的總和，它的磁場(chǎng)是這兩個(gè)解的磁場(chǎng)的總和。在量子力學(xué)中，正如我們所解釋的，線性性質(zhì)成立。然而，疊加態(tài)的解釋是非常令人驚訝的。

? ??一個(gè)有趣的例子是 Mach-Zehnder 干涉儀；這是一種由恩斯特·馬赫和路德維希·澤恩德在 1890 年代用來(lái)研究?jī)墒獾母缮娴墓饴钒才?，包括光束分束器、鏡子和探測(cè)器。

? ??一個(gè)分束器，顧名思義，將入射光束分成兩束，一束從分束器反射，另一束穿過(guò)分束器。我們的分束器是平衡的：它們將給定的光束分成相等強(qiáng)度的兩束（圖3）。反射的光稱為反射光束，穿過(guò)的光稱為透射光束。入射光束可以從上面或下面擊中分束器。

? ??Mach-Zehnder裝置如圖4所示，有一個(gè)左側(cè)的分光鏡(BS1)和一個(gè)右側(cè)的分光鏡(BS2)。在它們之間，有兩個(gè)鏡子，頂部是M1，底部是M2。從左側(cè)進(jìn)入的光束被BS1分成兩束，每束光線都照到一個(gè)鏡子上，然后被送到BS2。在BS2處，光線被重新組合，并分為兩束出射光，進(jìn)入光子探測(cè)器D0和D1。

? ??要安排光束分配器，使得從 BS1 分裂后，在 BS2 重新組合的入射光束出現(xiàn)在進(jìn)入 D0 的頂部光束中，這個(gè)過(guò)程相當(dāng)簡(jiǎn)單。在這種排列下，沒(méi)有任何光線進(jìn)入 D1。這需要在 BS2 處產(chǎn)生精確的干涉效應(yīng)。請(qǐng)注意，我們具有

兩束光線入射到 BS2，上面的光束稱為‘a(chǎn)’，下面的光束稱為‘b’。有兩個(gè)貢獻(xiàn)對(duì) D0 有作用：‘a(chǎn)’在BS2的反射和‘b’在BS2的透射。這兩個(gè)相互干涉以形成一個(gè)光束進(jìn)入 D0。同樣地，有兩個(gè)貢獻(xiàn)對(duì) D1 有作用：‘a(chǎn)’在BS2的透射和‘b’在BS2的反射相互抵消。這兩個(gè)貢獻(xiàn)可以被安排成相互干涉以不形成進(jìn)入 D1 的光束。

? ??將入射光束看作是一個(gè)一個(gè)光子發(fā)射到干涉儀中是很有啟發(fā)性的。這表明，在光子的層面上，干涉并不是一個(gè)光子與另一個(gè)光子的干涉。每個(gè)光子必須與自己發(fā)生干涉才能得到結(jié)果。實(shí)際上，兩個(gè)光子之間的干涉是不可能的：例如，破壞性干涉需要兩個(gè)光子最終沒(méi)有產(chǎn)生任何光子，這違反了能量守恒定律。

? ??因此，每個(gè)光子會(huì)做非常奇怪的事情，穿過(guò)干涉儀的兩個(gè)分支！每個(gè)光子處于兩個(gè)狀態(tài)的疊加狀態(tài)：一個(gè)狀態(tài)是光子在頂部光束或上部分支中，加上一個(gè)狀態(tài)是光子在底部光束或下部分支中。因此，干涉儀中的光子狀態(tài)是一個(gè)有趣的狀態(tài)，在這個(gè)狀態(tài)中，光子似乎在同時(shí)做兩件不兼容的事情。?

??

? ? 方程（3.6）是量子疊加的另一個(gè)例子。光子態(tài)具有沿著x偏振光子和沿著y偏振光子的分量。

? ??當(dāng)我們提到波函數(shù)時(shí)，有時(shí)也稱其為狀態(tài)，因?yàn)椴ê瘮?shù)指定了我們的量子系統(tǒng)的“狀態(tài)”。我們有時(shí)也將狀態(tài)稱為向量。量子態(tài)可能不像三維空間中的熟悉向量那樣是一個(gè)向量，但它仍然是一個(gè)向量，因?yàn)榭梢詫顟B(tài)相加，并將狀態(tài)乘以數(shù)字。就像可以將向量相加一樣，線性性保證了將波函數(shù)或狀態(tài)相加是一個(gè)合理的操作。就像任何向量可以以多種不同的方式寫(xiě)成其他向量的和一樣，我們也會(huì)這樣做。通過(guò)將物理狀態(tài)寫(xiě)成其他狀態(tài)的和，我們可以了解我們狀態(tài)的屬性。

? ??請(qǐng)注意，現(xiàn)在考慮兩個(gè)狀態(tài) |A>?和?|B>。此外，假設(shè)當(dāng)在狀態(tài) |A> 中測(cè)量某個(gè)屬性 Q 時(shí)，答案總是 a，當(dāng)在狀態(tài)?|B> 中測(cè)量相同的屬性 Q 時(shí)，答案總是 b。現(xiàn)在假設(shè)我們的物理狀態(tài)|Ψ>?是這兩個(gè)狀態(tài)的疊加。

如果我們現(xiàn)在測(cè)量態(tài)|Ψi所描述的系統(tǒng)中的某個(gè)屬性Q會(huì)發(fā)生什么？或許得到a和b之間的某個(gè)中間值是合理的，但事實(shí)并非如此。對(duì)Q的測(cè)量將產(chǎn)生a或b中的一個(gè)，沒(méi)有確定的答案，經(jīng)典決定論喪失了，但答案總是這兩個(gè)值之一，而不是中間值。上述疊加中的系數(shù)α和β影響我們可能獲得兩個(gè)可能值的概率。實(shí)際上，獲得a或b的概率取決于這些系數(shù)的值。

由于只有測(cè)量a或b這兩種可能性，實(shí)際概率必須加起來(lái)為1，因此它們由以下公式給出：

如果我們得到值a，則立即進(jìn)行的重復(fù)測(cè)量將給出a，因此測(cè)量后的狀態(tài)必須是|A>。 對(duì)于b也是如此，因此我們有

在量子力學(xué)中，人們做出了以下假設(shè)：將一個(gè)狀態(tài)與自身疊加不會(huì)改變物理現(xiàn)象，也不會(huì)以非平凡的方式改變狀態(tài)。因?yàn)閷⒁粋€(gè)狀態(tài)與自身疊加只是改變它的整體乘數(shù)，所以我們有 Ψ 和 αΨ 對(duì)于任何非零復(fù)數(shù) α 都表示相同的物理現(xiàn)象。因此，讓 ～= 表示物理等價(jià)性。

這個(gè)假設(shè)是驗(yàn)證光子態(tài)偏振具有預(yù)期自由度的必要條件。如電磁學(xué)中所學(xué)，平面波的偏振由兩個(gè)實(shí)數(shù)描述。為此，考慮一個(gè)橢圓偏振波，如圖5所示。在任何給定點(diǎn)，電場(chǎng)矢量沿著一個(gè)橢圓運(yùn)動(dòng)，其形狀由半長(zhǎng)軸的比例a/b編碼（第一個(gè)實(shí)參數(shù)），傾斜角度由角度θ編碼（第二個(gè)實(shí)參數(shù)）?？紤]一個(gè)由兩個(gè)獨(dú)立偏振態(tài)|photon：x>?和 |photon:?y>疊加形成的一般光子態(tài)：

乍一看，似乎我們有兩個(gè)復(fù)數(shù)參數(shù)α和β，或者等價(jià)地，四個(gè)實(shí)數(shù)參數(shù)。但是，由于整體因子并不重要，我們可以將該狀態(tài)乘以1/α，以獲得編碼所有物理信息的等價(jià)狀態(tài)。

這表明我們實(shí)際上只有一個(gè)復(fù)參數(shù)，即比率β/α。這等價(jià)于兩個(gè)實(shí)參數(shù)，正如預(yù)期的那樣。

? ? 讓我們?cè)儆秒娮觼?lái)做一個(gè)疊加態(tài)的例子。電子是具有自旋的粒子。經(jīng)典上，我們將其想象為圍繞通過(guò)粒子本身的軸旋轉(zhuǎn)的微小球體。一旦一個(gè)軸被固定，電子只有兩個(gè)選項(xiàng)：它的旋轉(zhuǎn)可以順時(shí)針或逆時(shí)針，但在兩種情況下，它都以相同的固定速率旋轉(zhuǎn)。這兩種相反旋轉(zhuǎn)的方式稱為沿軸向的自旋向上和自旋向下（見(jiàn)圖6）。向上和向下指的是與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的角動(dòng)量的方向，它由一個(gè)箭頭表示。根據(jù)量子力學(xué)，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，無(wú)論我們用哪個(gè)軸來(lái)測(cè)量電子的自旋，都會(huì)出現(xiàn)相同的可能性，即自旋向上或自旋向下。

物理學(xué)家通常通過(guò)選擇三個(gè)正交方向（即x軸、y軸和z軸的方向）來(lái)建立空間坐標(biāo)系。讓我們選擇使用z軸來(lái)描述我們旋轉(zhuǎn)的電子。一個(gè)電子的可能狀態(tài)之一是沿著z軸自旋向上。這樣的狀態(tài)描述為| ↑ :?z>，箭頭指向上，標(biāo)簽z表示自旋箭頭沿著增加的z方向。電子的另一個(gè)可能狀態(tài)是沿著z軸自旋向下。這樣的狀態(tài)描述為| ↓ :?z>，箭頭指向下，這次表示自旋沿著減小的z方向。如果這兩種情況是可能的現(xiàn)實(shí)，那么表示它們的狀態(tài)|Ψi將是它們的和。

|Ψ>?表示旋轉(zhuǎn)向上和旋轉(zhuǎn)向下的疊加狀態(tài)。這個(gè)疊加狀態(tài)代表了什么樣的物理現(xiàn)象？它代表了在沿 z 軸測(cè)量自旋時(shí)會(huì)有兩種可能結(jié)果，旋轉(zhuǎn)向上或旋轉(zhuǎn)向下，并且這兩種可能的概率相等。由于我們只能談?wù)摳怕?，任何?shí)驗(yàn)都必須重復(fù)進(jìn)行，直到可以確定概率為止。假設(shè)我們有一個(gè)大量的這樣的電子集合，所有電子都處于上述狀態(tài) |Ψ>。當(dāng)我們逐個(gè)測(cè)量它們沿 z 軸的自旋時(shí)，大約一半會(huì)沿 z 軸旋轉(zhuǎn)向上，另一半會(huì)沿 z 軸旋轉(zhuǎn)向下。我們無(wú)法預(yù)測(cè)哪種選項(xiàng)將被實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槊總€(gè)電子的測(cè)量結(jié)果都是隨機(jī)的。超出我們的想象，但可以這樣想象。處于上述狀態(tài)的電子處于一種不同的存在狀態(tài)中，在這種狀態(tài)下，它既可以同時(shí)沿 z 軸旋轉(zhuǎn)向上又可以同時(shí)沿 z 軸旋轉(zhuǎn)向下！它處于這種幽靈般的、可怕的狀態(tài)中，同時(shí)進(jìn)行著不相容的事情，直到它的自旋被測(cè)量。一旦被測(cè)量，電子必須立即選擇其中一種選項(xiàng)；我們總是發(fā)現(xiàn)電子既旋轉(zhuǎn)向上，還是旋轉(zhuǎn)向下。

?

? ? 量子力學(xué)的批評(píng)者可能會(huì)對(duì)上述觀察提出更簡(jiǎn)單的解釋。他或她可能會(huì)聲稱以下更簡(jiǎn)單的系列將產(chǎn)生相同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在這個(gè)系列中，我們有大量的電子，原本上，其中50％處于狀態(tài)|↑:?z>，另外50％處于狀態(tài)|↓:?z>。他或她會(huì)正確地指出，這樣的系列將產(chǎn)生與那些玄妙的|Ψi狀態(tài)相同的沿z旋轉(zhuǎn)測(cè)量結(jié)果。這個(gè)新系列可以提供更簡(jiǎn)單的解釋，而無(wú)需引用量子疊加。

? ? 然而，量子力學(xué)允許進(jìn)行進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)，可以區(qū)分友好的批評(píng)家所說(shuō)的集合和|Ψ>狀態(tài)的集合。雖然我們不太能夠解釋這一點(diǎn)，但如果我們?cè)趚方向上測(cè)量電子的自旋，而不是在z方向上，那么兩個(gè)集合的結(jié)果將會(huì)不同。在我們的批評(píng)家的集合中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)50％的電子朝上沿著x方向旋轉(zhuǎn)，50％的電子沿著x方向向下旋轉(zhuǎn)。然而，在我們的|Ψ>狀態(tài)的集合中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)非常簡(jiǎn)單的結(jié)果：所有狀態(tài)都指向x方向向上。批評(píng)家的集合與我們的量子力學(xué)集合不同。因此，批評(píng)家的錯(cuò)誤嘗試證明量子力學(xué)中的疊加不是必需的。

5 Entanglement（量子糾纏）

? ??當(dāng)我們考慮兩個(gè)粒子的狀態(tài)的疊加時(shí)，我們可以得到一個(gè)引人注目的現(xiàn)象，稱為量子力學(xué)糾纏。兩個(gè)粒子的糾纏狀態(tài)是指我們無(wú)法單獨(dú)描述每個(gè)粒子的狀態(tài)。這些粒子在一個(gè)共同的狀態(tài)中被捆綁在一起，在這個(gè)狀態(tài)中它們相互糾纏。

讓我們考慮兩個(gè)不相互作用的粒子。粒子1可能處于以下任意一個(gè)狀態(tài)中：

同樣，粒子2可以處于以下任何狀態(tài)之一：

看起來(lái)合理的結(jié)論是，包括粒子1和粒子2的整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)將由粒子1的狀態(tài)和粒子2的狀態(tài)來(lái)確定。如果是這樣，可能的狀態(tài)將被寫(xiě)成：

對(duì)于某些特定的i和j，它們分別指定了粒子一和粒子二的狀態(tài)。我們使用符號(hào)?（表示張量積）將兩個(gè)狀態(tài)組合成整個(gè)系統(tǒng)的單個(gè)狀態(tài)。我們將在后面學(xué)習(xí)?，但在此之前，我們可以將其視為一種乘積，它在加法上分配并遵守以下簡(jiǎn)單規(guī)則：

這些數(shù)字可以移動(dòng)到 ? 的兩側(cè)，但是狀態(tài)的順序必須保持不變。左側(cè)的狀態(tài)（在右側(cè)展開(kāi)）仍然是第一個(gè)粒子（α1u1 + α2u2）的一個(gè)狀態(tài)與第二個(gè)粒子（β1、u1 + β2、u2）的一個(gè)狀態(tài)相乘。和公式（5.3）中的任意一個(gè)狀態(tài)一樣，這個(gè)狀態(tài)也沒(méi)有糾纏。

? ? 利用（5.3）中的態(tài)，我們可以構(gòu)建更為有趣的疊加態(tài)。我們將一個(gè)粒子的態(tài)與另一個(gè)粒子的態(tài)組合起來(lái)，得到以下的疊加態(tài)：

如果一個(gè)兩粒子的狀態(tài)不能被寫(xiě)成形如(···) ? (···)的分解形式，那么這個(gè)狀態(tài)就被稱為糾纏態(tài)，因?yàn)檫@樣的分解形式無(wú)法僅僅通過(guò)說(shuō)明每個(gè)粒子的狀態(tài)來(lái)描述這個(gè)狀態(tài)。我們可以輕易地看出，式(5.5)不能被分解。如果能被分解，它只能是通過(guò)式(5.4)所示的乘積，顯然，引入像|u3>或|v3>這樣的狀態(tài)是無(wú)法幫助我們的。為了確定常數(shù)α1、α2、β1、β2，我們將式(5.4)右邊與我們的狀態(tài)進(jìn)行比較，然后得出我們需要

很顯然，這里沒(méi)有解決方案。例如，第二個(gè)方程要求α1或β2為零。有α1 = 0違反了第一個(gè)方程，而有β2 = 0違反了最后一個(gè)方程。這證實(shí)了狀態(tài)(5.5)確實(shí)是一種糾纏態(tài)。沒(méi)有辦法通過(guò)指定每個(gè)粒子的狀態(tài)來(lái)描述這個(gè)狀態(tài)。

? ??讓我們使用電子和它們的自旋狀態(tài)來(lái)說(shuō)明上述討論。考慮兩個(gè)電子的狀態(tài)，表示為| ↑>? | ↓>。正如符號(hào)所示，第一個(gè)電子由第一個(gè)箭頭描述，沿z方向?yàn)樯希诙€(gè)電子由第二個(gè)箭頭描述，沿z方向?yàn)橄拢榱撕?jiǎn)潔起見(jiàn)，我們省略了狀態(tài)的z標(biāo)簽）。這不是一個(gè)糾纏態(tài)。另一個(gè)可能的狀態(tài)是它們恰恰相反：在| ↓i ? | ↑i中，第一個(gè)電子是向下的，而第二個(gè)電子是向上的。這個(gè)第二個(gè)狀態(tài)也不是糾纏態(tài)。現(xiàn)在，通過(guò)疊加，我們可以考慮狀態(tài)

這是一對(duì)電子的糾纏態(tài)。

練習(xí)?證明上述狀態(tài)不能被分解，因此確實(shí)是糾纏態(tài)。

? ??在狀態(tài)（5.7）中，如果第二個(gè)電子向下沿著z軸，那么第一個(gè)電子就會(huì)向上沿著z軸（第一項(xiàng)），或者如果第二個(gè)電子向上沿著z軸，那么第一個(gè)電子就會(huì)向下沿著z軸（第二項(xiàng)）。這兩個(gè)粒子的自旋之間存在一種關(guān)聯(lián)性；它們總是指向相反的方向。想象一下，這兩個(gè)糾纏在一起的電子彼此非常遙遠(yuǎn)：Alice把其中一個(gè)電子帶在地球上，而B(niǎo)ob則把另一個(gè)電子帶在月球上。我們所知道的任何事情都沒(méi)有連接這些粒子，但是電子的狀態(tài)仍然是相互關(guān)聯(lián)的。我們對(duì)單獨(dú)的粒子所做的測(cè)量會(huì)呈現(xiàn)出一定的關(guān)聯(lián)性。假設(shè)Alice測(cè)量了地球上的電子的自旋。如果她發(fā)現(xiàn)它向上沿著z軸，那么它意味著以上超態(tài)中的第一項(xiàng)實(shí)現(xiàn)了，因?yàn)樵谀莻€(gè)式子中，第一個(gè)粒子是向上的。如前所述，兩個(gè)粒子的狀態(tài)會(huì)立即變成第一項(xiàng)的狀態(tài)。這意味著月球上的電子會(huì)瞬間進(jìn)入自旋向下沿著z軸的配置，Bob可以通過(guò)他實(shí)驗(yàn)室中的那個(gè)粒子來(lái)證實(shí)這一點(diǎn)。在信息傳遞速度為光速的情況下，Alice進(jìn)行測(cè)量并得到自旋向上的結(jié)果之前，Bob的電子已經(jīng)發(fā)生了這種自旋翻轉(zhuǎn)。當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)必須用包含許多處于同一糾纏態(tài)的粒子對(duì)的總體來(lái)完成。地球上的電子一半的時(shí)間會(huì)被發(fā)現(xiàn)是向上的，而月球上的電子會(huì)被發(fā)現(xiàn)是向下的；而另一半的時(shí)間則是地球上的電子向下，月球上的電子向上。

? ??我們友好的批評(píng)家現(xiàn)在可以正確地說(shuō)，沿z方向的自旋測(cè)量之間的這種相關(guān)性可能是通過(guò)準(zhǔn)備傳統(tǒng)的集合，在其中50％的對(duì)處于狀態(tài)| ↑>?? | ↓>，另外50％的對(duì)處于狀態(tài)| ↓>?? | ↑>中產(chǎn)生的。 1964年，約翰·貝爾對(duì)此類異議進(jìn)行了最終的處理，他表明，如果Alice和Bob能夠在三個(gè)任意方向上測(cè)量自旋，則量子糾纏態(tài)預(yù)測(cè)的相關(guān)性與任何可以想象的傳統(tǒng)集合的經(jīng)典相關(guān)性不同。量子糾纏態(tài)中的量子相關(guān)性非常微妙，需要精密的實(shí)驗(yàn)來(lái)證明它們不能作為經(jīng)典相關(guān)性重現(xiàn)。實(shí)際上，糾纏態(tài)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了量子相關(guān)性的存在。與分離的糾纏粒子上的測(cè)量相關(guān)聯(lián)的瞬時(shí)作用不會(huì)導(dǎo)致悖論，也不會(huì)與狹義相對(duì)論的思想產(chǎn)生矛盾。你不能使用量子力學(xué)的糾纏態(tài)來(lái)以超光速發(fā)送信息。

（第一節(jié)到第五節(jié)-完結(jié)）