原視頻參考:

BV1B34y1o7gS

法一:

令A(yù)=∫sinx/(csinx+dcosx)dx

B=∫cosx/(csinx+dcosx)dx

則原不定積分=aA+bB

(即需求不定積分A、B)

M=cA+dB=∫(csinx+dcosx)/(csinx+dcosx)dx

=∫1dx=x

N=-dA+cB

=∫(-dsinx+ccosx)/(csinx+dcosx)dx

=∫1/(csinx+dcosx)d(csinx+dcosx)

=ln|csinx+dcosx|

即cA+dB=M,-dA+cB=N

視A,B為未知數(shù)，解二元一次方程組得:

A=(cM-dN)/(c2+d2),B=(dM+cN)/(c2+d2)

故原不定積分=aA+bB

=(acM-adN+bdM+bcN)/(c2+d2)

=(ac+bd)M/(c2+d2)+(bc-ad)N/(c2+d2)

=(ac+bd)/(c2+d2)*x+(bc-ad)/(c2+d2)*ln|csinx+dcosx|

法二:換元為有理式+裂項(xiàng)

原式=a/c∫(csinx+(bc/a)cosx)/(csinx+dcosx)dx

其中,分子=csinx+dcosx+(bc/a-d)cosx

分離常數(shù)得

=a/c∫1+(bc/a-d)cosx/(csinx+dcosx)dx

=a/c[x+(bc-ad)/c*∫cosx/(csinx+dcosx)]dx

即需求M=∫cosx/(csinx+dcosx)]dx

分子分母同除cosx得

M=∫1/(ctanx+d)dx

令tanx=t

則M=∫1/(ct+d)d(arctant)

=∫1/(ct+d)*1/(1+t2)dt

裂項(xiàng)(詳細(xì)步驟在文章尾端備注)得

M=∫[(c2/(c2+d2))/(ct+d)+(-c/(c2+d2)t+d/(c2+d2))/(1+t2)]dt

=c/(c2+d2)∫c/(ct+d)dt-c/2(c2+d2)∫2t/(1+t2)dt+d/(c2+d2)∫1/(1+t2)dt

=c/(c2+d2)∫1/(ct+d)d(ct+d)-c/2(c2+d2)∫1/(1+t2)d(t2+1)+d/(c2+d2)∫1/(1+t2)dt

=c/(c2+d2)ln|ct+d|-c/2(c2+d2)ln(1+t2)+d/(c2+d2)arctant

t=tanx代回得

M=c/(c2+d2)ln|ctanx+d|-c/2(c2+d2)ln(1+tan2x)+d/(c2+d2)x

其中,1+tan2x=1/cos2x=(cosx)^(-2)

∴M=c/(c2+d2)ln|ctanx+d|+c/(c2+d2)ln|cosx|+d/(c2+d2)x

=c/(c2+d2)ln|(ctanx+d)cosx|+d/(c2+d2)x

∴原式=a/cx+(bc-ad)/c*M

=a/cx+(bc-ad)/(c2+d2)ln|csinx+dcosx|+d(bc-ad)/c(c2+d2)x

=[a/c+(bcd-ad2)/c(c2+d2)]x+(bc-ad)/(c2+d2)ln|csinx+dcosx|

其中，x前系數(shù)化簡

(ac2+ad2)/c(c2+d2)+(bcd-ad2)/c(c2+d2)

=(ac2+bcd)/c(c2+d2)

=(ac+bd)/(c2+d2)

原式=(ac+bd)/(c2+d2)x+(bc-ad)/(c2+d2)ln|csinx+dcosx|

ps:其中裂項(xiàng)步驟中待定系數(shù)過程如下

設(shè)1/(ct+d)*1/(1+t2)=m/(ct+d)+(kt+b)/(1+t2)

(目的:使前項(xiàng)為一次分式函數(shù)，可湊微分d(ct+d)；后者可進(jìn)一步裂項(xiàng)為kt/(1+t2)與b/(1+t2)，分別為湊微分d(1+t2)與積出arctant)

將右式展開，分子為

m(1+t2)+(ct+d)(kt+b)

=(m+ck)t2+(bc+kd)t+m+bd

對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即

m+ck=0,bc+kd=0,m+bd=1

聯(lián)立解以m,k,b為未知數(shù)的三元一次方程組得:

m=c2/(c2+d2),k=-c/(c2+d2),b=d/(c2+d2)