方程和數(shù)字一樣，不是總能被分解成更簡(jiǎn)單的元素。研究人員現(xiàn)在證明：隨著方程增大，“質(zhì)數(shù)”方程將無(wú)處不在。

質(zhì)數(shù)之所以深受喜愛(ài)，是因?yàn)樗蔀闊o(wú)數(shù)流行報(bào)道的焦點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)中最著名開(kāi)放性問(wèn)題的掌上明珠。但有一個(gè)同樣是基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題卻很少受到關(guān)注：質(zhì)數(shù)方程。質(zhì)數(shù)方程式中，特別是多項(xiàng)式方程，不能被其他任何方程式分解。和質(zhì)數(shù)一樣，它們也是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的核心。對(duì)于許多特定問(wèn)題，如果你能理解一些關(guān)于質(zhì)數(shù)方程的知識(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你已經(jīng)回答了實(shí)際要解決的問(wèn)題。

特拉維夫大學(xué)(Tel Aviv University)的里爾?巴里-索羅克(Lior ry- soroker)表示：當(dāng)我們遇到問(wèn)題時(shí)，將它總結(jié)歸納為質(zhì)數(shù)方面的知識(shí)，多項(xiàng)式也是如此。質(zhì)數(shù)方程的最基本知識(shí)與質(zhì)數(shù)類(lèi)似：出現(xiàn)頻率，在過(guò)去的一年中，數(shù)學(xué)家們?cè)谶@個(gè)問(wèn)題上取得了重大進(jìn)步。十月底發(fā)表的一篇論文中，劍橋大學(xué)的艾曼紐·布勒亞爾（Emmanuel Breuillard）和彼得·瓦居（Peter Varju）證明：幾乎所有特定類(lèi)型的方程都是質(zhì)數(shù)。這意味著質(zhì)數(shù)方程與罕見(jiàn)的質(zhì)數(shù)不同，質(zhì)數(shù)方程更為豐富。新論文解決了已有25年歷史的數(shù)學(xué)猜想，從在線加密到隨機(jī)數(shù)學(xué)，其意義無(wú)處不在。

1、失敗的途徑越多

數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題可以歸納為多項(xiàng)式方程，這些方程——就像y = 2 x?3 和y = x2?+ 5 + 6，系數(shù)在變量之前，變量逐漸上升到冪。在許多方面，方程式表現(xiàn)得與普通的數(shù)字別無(wú)二致：也可以進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算。人們很自然地會(huì)問(wèn)，哪些方程能夠表示為兩個(gè)較小方程的乘積。當(dāng)一個(gè)方程不能被分解成兩個(gè)更小的方程時(shí)，數(shù)學(xué)家們就說(shuō)它不可約。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們想知道不可約多項(xiàng)式方程多久能出現(xiàn)一次。試圖在所有可能多項(xiàng)式（具有任意數(shù)量的變量、升到任意冪、具有任意系數(shù)的方程）中，陳述出不可約多項(xiàng)式的頻率極其困難。因此數(shù)學(xué)家們通過(guò)限制指數(shù)或?qū)⑾禂?shù)限制在小范圍內(nèi)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

2017年10月以色列Weizmann科學(xué)研究所數(shù)學(xué)家巴里-索洛克（barry - soroker）和蓋迪·科茲（Gady Kozma）證明了幾乎所有系數(shù)范圍內(nèi)有限多項(xiàng)式都不可約。不久布勒亞爾和瓦居解決了一個(gè)與之稍有不同的問(wèn)題。他們考慮了任意長(zhǎng)度、任意指數(shù)、任意系數(shù)的多項(xiàng)式(唯一的限制是可能系數(shù)的數(shù)量有限)。布勒亞爾和瓦居的方法能夠解決更簡(jiǎn)單的問(wèn)題。1993年現(xiàn)任明尼蘇達(dá)大學(xué)（ University of Minnesota）的數(shù)學(xué)家安德魯·奧德利茲科（ Andrew Odlyzko）和現(xiàn)任麻省理工學(xué)院的比昂·龐寧（Bjorn Poonen）推測(cè)：當(dāng)考慮系數(shù)必須為是0或1的復(fù)雜多項(xiàng)式時(shí)，可分解方程就變得非常罕見(jiàn)、

奧德利茲科和龐寧猜想，通過(guò)限制多項(xiàng)式的系數(shù)是為了在壓倒性問(wèn)題中站穩(wěn)腳跟。巴里-索羅克說(shuō)：如果你想學(xué)習(xí)一些知識(shí)，證明很多觀點(diǎn)，那你最好從簡(jiǎn)單的事情開(kāi)始。他們的猜想也是基于基本算術(shù)，質(zhì)數(shù)在前10個(gè)數(shù)字中很常見(jiàn)，但隨著數(shù)字增多，質(zhì)數(shù)開(kāi)始變得越來(lái)越稀有。要成為質(zhì)數(shù)，一個(gè)數(shù)字需要避免被比它小的整數(shù)整除(除了數(shù)字1)。為了使多項(xiàng)式能夠進(jìn)行因式分解，它的系數(shù)之間必須保持正確的關(guān)系。多項(xiàng)式y(tǒng) = x2?+ 5x+ 6可以分解為(x + 3)×(x + 2)，只是碰巧因?yàn)?和3兩個(gè)數(shù)字相乘等于6，相加等于5。隨著系數(shù)數(shù)量的增加，找到滿足所有系數(shù)的因子的可能性越來(lái)越小。奧德利茲科說(shuō)“多項(xiàng)式要可約，系數(shù)之間就必須保持特殊的關(guān)系，對(duì)于一個(gè)高次多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)，所要滿足的條件就更多。

2、隨機(jī)游動(dòng)

布勒亞爾和瓦居并沒(méi)有開(kāi)始研究多項(xiàng)式不可約性，相反他們開(kāi)始研究隨機(jī)游走數(shù)學(xué)。在隨機(jī)漫步中，想象你站在一個(gè)鐘面上，時(shí)鐘每隔一段時(shí)間就會(huì)標(biāo)記出數(shù)字1到11。你從1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開(kāi)始拋硬幣，如果硬幣反面朝上，就將你所處位置的數(shù)字與事先選擇的其他數(shù)字相乘，然后前進(jìn)到圓上相應(yīng)的點(diǎn)。在時(shí)鐘或“模塊化”數(shù)字系統(tǒng)中，如果輸出的數(shù)字大于11，你就會(huì)一直不停地前行，直到達(dá)到所需的空格數(shù)為止。如果硬幣正面朝上，在乘以所選數(shù)字的基礎(chǔ)上加一，然后前進(jìn)到相應(yīng)位置。鑒于這些條件，布勒亞爾和瓦居想了解兩件事：參觀圓周上的每個(gè)點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間，參觀完所有點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

數(shù)學(xué)家們把這些問(wèn)題稱(chēng)為“混合問(wèn)題”，它們與多項(xiàng)式不可約性相關(guān)。布勒亞爾和瓦居認(rèn)識(shí)到，隨機(jī)游動(dòng)的路徑可以分別用系數(shù)為0和1的多項(xiàng)式方程來(lái)描述。隨機(jī)游動(dòng)的“混合時(shí)間”與描述該隨機(jī)游動(dòng)的大多數(shù)多項(xiàng)式是否不可約密切相關(guān)。瓦居說(shuō)：如果我們知道這些多項(xiàng)式是否不可約，就能對(duì)需要理解的問(wèn)題做出一些解釋。為了測(cè)試多項(xiàng)式的不可約性，布勒亞爾和瓦居采用了20世紀(jì)80年代開(kāi)發(fā)的將不可約性與數(shù)論聯(lián)系起來(lái)的技術(shù)。他們想知道一個(gè)給定多項(xiàng)式在給定的模數(shù)系統(tǒng)中有多少解。以前的工作已經(jīng)表明，多項(xiàng)式的解數(shù)反映了因子的數(shù)量。如果它在模數(shù)系統(tǒng)中平均有三個(gè)解，它就有三個(gè)因數(shù)。如果多項(xiàng)式只有一個(gè)因子，這意味著它不可約。

布勒亞爾和瓦居將這種方法應(yīng)用于基于質(zhì)數(shù)的模數(shù)系統(tǒng)中，結(jié)論顯示：當(dāng)考慮越來(lái)越大的多項(xiàng)式(系數(shù)為0或1)時(shí)，多項(xiàng)式不可約的比例越來(lái)越接近100%。證明結(jié)果還取決于另一個(gè)猜想的真實(shí)性：黎曼假設(shè)。黎曼假設(shè)是數(shù)學(xué)中最重要、最令人畏懼的未解之謎。但黎曼假設(shè)被廣泛接受，這在一定程度上支持了布勒亞爾和瓦居的工作。他們的研究結(jié)果具有廣泛意義，在實(shí)踐層面上，這對(duì)于在線加密來(lái)說(shuō)是一個(gè)好消息，因?yàn)榭煞纸舛囗?xiàng)式可能破壞常用的數(shù)字加密方式。更重要的是，這朝著理解方程本質(zhì)邁出了一大步。方程在生活和數(shù)學(xué)中比比皆是，但數(shù)學(xué)家很難從整體上對(duì)它們加以描述。以前對(duì)多項(xiàng)式不可約的估計(jì)要弱得多，現(xiàn)在這些家伙說(shuō)實(shí)際上它們都不可約。

博科園-科學(xué)科普｜參考期刊文獻(xiàn):《arXiv》

文：Kevin Hartnett/Quanta magazine/Quanta Newsletter

Cite：arXiv:1810.13360

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