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常微分方程筆記（一）

2022-09-27 12:35 作者:啊啊啊每當(dāng)想起你 0人讀過 | 我要投稿

聲明：算是用作自己復(fù)習(xí)的，所以如果寫的內(nèi)容有問題的話可以指出

所使用的教材是中山大學(xué)王高雄等老師編著的《常微分方程》（之前拜讀過丁同仁老師寫的ODE教材，但是看完基礎(chǔ)解法以后因為各種原因就沒看下去了，以后還會拾起再讀的）

以及只是隨便寫寫罷了（順便學(xué)習(xí)使用LaTeX），里面都是很基礎(chǔ)的內(nèi)容（也許還會加一些亂七八糟的碎碎念），還望有路過的大佬輕噴，阿巴阿巴

1.1常微分方程概念

1.1.1實/復(fù)值微分方程，常/偏微分方程

????實值微分方程：自變量、未知函數(shù)均取實值的微分方程.

????復(fù)值微分方程：未知函數(shù)取復(fù)值的微分方程.

????常微分方程（ODE）：自變量只有一個的微分方程.

????偏微分方程（PDE）：自變量有兩個及以上的微分方程.

1.1.2階數(shù)與線性

????階數(shù)：未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)（類似于多項式次數(shù)的定義）.

????線性：如果方程左端為形如： $%5Cfrac%7Bd%5Eny%7D%7Bdx%5En%7D%2Ba_%7Bn-1%7D(x)%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn-1%7Dy%7D%7Bdx%5E%7Bn-1%7D%7D%2B...%2Ba_1(x)%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2Ba_0(x)%3Df(x)$

的有理整式，其中 $a_1(x)(i%3D0%2C1%2C...%2Cn-1)%2Cf(x)$ 為已知函數(shù)，則稱其為n階線性微分方程；否則稱為非線性微分方程.

????（線性微分方程也可類比于多項式）

1.1.3解與隱式解

????顯式解（通稱為解）：使微分方程變?yōu)楹愕仁降暮瘮?shù) $y%3D%5Cvarphi%20(x)$ .

????隱式解（也成為”積分“）：微分方程的解由隱函數(shù) $%5CPhi%20(x%2Cy)%3D0$ 決定.

1.1.4通解與特解

????通解：n階微分方程中含有n個獨立的任意常數(shù) $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 的解 $y%3D%5Cvarphi%20(x%2Cc_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n)$ 稱為通解.

此處解對常數(shù)的獨立性需要使用φ及其n-1階偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 的Jacobi行列式

$%5Cfrac%7B%5Cpartial(%CF%86%2C%CF%86'%2C...%2C%CF%86%5E%7B(n-1)%7D)%7D%7B%5Cpartial(c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n)%7D%20%5Cneq0$ .

（需要注意的是，對于線性O(shè)DE通解即全部解，但于非線性O(shè)DE通解并非全部的解，其全部解需要包含奇解）

????定解條件：確定微分方程特定解的所必須的條件（常見的是初值條件和邊值條件）.

????初值條件：形如以下n個條件： $y(x_0)%3Dy_0%2C%5Cfrac%7Bdy(x_0)%7D%7Bdx%7D%3Dy_%7B0%7D%5E%7B(1)%7D%2C...%2C%5Cfrac%7Bd%5E%7Bn-1%7Dy(x_0)%7D%7Bdx%5E%7Bn-1%7D%7D%3Dy_%7B0%7D%5E%7B(n-1)%7D$

其中 $x_0%2Cy_0%2Cy_%7B0%7D%5E%7B(1)%7D%2C...%2Cy_%7B0%7D%5E%7B(n-1)%7D$ 為給定的n+1個常數(shù).

????特解：滿足初值條件的解.

1.1.5積分曲線與方向場

????積分曲線：一階微分方程 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(x%2Cy)$ 的解 $y%3D%5Cvarphi%20(x)$ 表示Oxy平面上的一條曲線，此曲線即微分方程的積分曲線.

????方向場（向量場）：可以用函數(shù) $f(x%2Cy)$ 在Oxy平面某區(qū)域D定義過各點的小線段的斜率方向，此區(qū)域D即方程 $%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df(x%2Cy)$ 所定義的方向場（向量場）.

????等（傾）斜線：方向場中方向相同的曲線 $f(x%2Cy)%3Dk$ .

1.1.6微分方程組

????微分方程組：用兩個或以上的關(guān)系式表示的微分方程即微分方程組，其形式為： $%5Cfrac%7Bdy_i%7D%7Bdt%7D%3Df_i(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%2Ci%3D1%2C2%2C...%2Cn$

或者寫成向量形式： $%5Cfrac%7Bd%7B%5Cboldsymbol%7By%7D%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D)$

???? $%5Cboldsymbol%7By%7D%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ay_1%20%5C%5C%20y_2%20%5C%5C%20%5Cvdots%20%5C%5C%20y_n%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ， $%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t%2C%5Cboldsymbol%7By%7D)%3D%0A%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Af_1(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%20%5C%5C%0Af_2(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%20%5C%5C%0A%5Cvdots%20%5C%5C%0Af_n(t%2Cy_1%2C...%2Cy_n)%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$ .

1.1.7駐定與非駐定

????駐定（自洽）：如果方程組右端不含自變量t（即時間不變）：? $%5Cfrac%7Bd%7B%5Cboldsymbol%7By%7D%7D%7D%7Bdt%7D%3D%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Cboldsymbol%7By%7D)%EF%BC%8C%5Cboldsymbol%7By%7D%5Cin%20D%5Csubseteq%20R%5En%20$ ，

則稱其為駐定（自治）的，右端含有自變量t（即時間變化）為非駐定（非自治）的.

1.1.8相空間和軌線

????相空間：不含自變量、僅由未知函數(shù)構(gòu)成的空間

????軌線：積分曲線在相空間的投影

????奇點（平衡解、駐定解、常數(shù)解）：駐定微分方程組 $%5Cboldsymbol%7Bf%7D(%5Cboldsymbol%7By%7D)%3D%5Cboldsymbol%7B0%7D$ 的解 $%5Cboldsymbol%7By%7D%3D%5Cboldsymbol%7By%7D%5E*$ 表示相空間的點，它滿足微分方程組，此解即奇點

????相平面：對于平面一階駐定微分方程組 $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3Df(x%2Cy)%20%5C%5C%0A%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3Dg(x%2Cy)%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D$ ，其相空間(x,y)稱為相平面（該駐定方程組積分曲線的特性：時間軸t的平移不影響方向場，即可將該方程的積分曲線投影到(x,y)平面上，該方程組變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bf(x%2Cy)%7D%7Bg(x%2Cy)%7D" alt="%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bf(x%2Cy)%7D%7Bg(x%2Cy)%7D">或 $%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D%5Cfrac%7Bg(x%2Cy)%7D%7Bf(x%2Cy)%7D$ ，也即其在相平面上的積分曲線就是軌線）