定理內(nèi)容：若函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值。?

或者：設(shè)y=f(x)在(A,B)區(qū)間中可導(dǎo)，且[a,b]包含于(A,B)，f'(a)<f'(b)，則對(duì)于任意給定的η:f'(a)<η<f'(b),都存在一點(diǎn)c∈(a,b)使得f'(c)=η

簡(jiǎn)而言之，定理的內(nèi)容就是說(shuō)如果原函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)可導(dǎo)，那么f′(x)在[a,b]區(qū)間內(nèi)具有界值性，這件事確實(shí)是不那么自然的一件事，因?yàn)槲覀冎?，開(kāi)區(qū)間連續(xù)的函數(shù)具有界值性，那么是否是說(shuō)f′(x)在[a,b]區(qū)間內(nèi)具有界值性就說(shuō)明f′(x)是開(kāi)區(qū)間連續(xù)的呢？顯然沒(méi)有定理告訴我們說(shuō)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)就能推出f′(x)連續(xù)的，顯然連續(xù)只是界值性的一個(gè)必要條件。下面來(lái)證明這個(gè)定理，若函數(shù)f(x)在[a,b]上可導(dǎo)，則f′(x)在[a,b]上具有界值性：

，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)。

由介值定理存在ζ∈(a,ξ)使g(ζ)=g(b)。

又由羅爾中值定理，存在δ∈(ζ,b)使g'(δ)=0。

所以無(wú)論如何總存在x∈(a,b)使g'(x)=0即f'(x)=η

法二：g(x)=f(x)-rx
在[a,b]連續(xù)
由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)存在最大最小值
則存在c∈[a,b]有g(shù)(c)是最值

再證c不等于a或b同法一：

不妨設(shè)g(a)>g(b)，又g'(b)>0，由極限保號(hào)性、

，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)<g(b)<g(a)

所以a，b一定不是最小值，

由費(fèi)馬定理

g'(c)=0
即
f'(c)=r且c∈(a,b)

顯然法二看起來(lái)更加常用，且好理解一些，做輔助函數(shù)后，利用閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)的有界性，必有最大最小值，根據(jù)費(fèi)馬定理就有導(dǎo)數(shù)等于0。