根據(jù)方程

如果gμν受到某種擾動(dòng)變成gμν+δgμν而且δgμν很小，那么準(zhǔn)確到δgμν的一階，我們有:

式中δΓλμν是仿射聯(lián)絡(luò)的變分:

我們注意到δΓλμν可以表示為張量形式:

協(xié)變導(dǎo)數(shù)當(dāng)然是用未擾動(dòng)的仿射聯(lián)絡(luò)Γμν來構(gòu)造的，因?yàn)棣摩＆苔褪且粋€(gè)張量，Ricci張量的變分也可以用協(xié)變導(dǎo)數(shù)寫出來

這叫做Palatini恒等式，利用δgμν可以把它寫為:

這里假定對(duì)于未擾動(dòng)引力場(chǎng)gμν和能量-動(dòng)量張量Tμν，Einstein場(chǎng)方程也應(yīng)成立的條件是:

原項(xiàng)δTμν也服從守恒定律

這些方程的廣義協(xié)變性是顯然的 正如對(duì)于Minkowski時(shí)空中的引力波一樣，把物理擾動(dòng)同僅僅是坐標(biāo)系的改變區(qū)別開來在這里是重要的，為了這個(gè)目的讓我們思考一般的無限小坐標(biāo)變換

式中εμ（x）是一個(gè)任意的無限小矢量場(chǎng)，張量變換法則中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)這里是

因?yàn)镋instein方程是廣義協(xié)變的，而且gμν（x）是對(duì)于能量-動(dòng)量張量T'μν（x）的解，這里

對(duì)于T'μν（x）亦然，用協(xié)變的術(shù)語，我們能得出結(jié)論:度規(guī)張量

是Einstein方程對(duì)于能量-動(dòng)量張量

的解，式中

（注意:除了gμν的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為0，而Tμν的協(xié)變導(dǎo)數(shù)不為0以外△εΤμν和△εgμν具有相同的形式）由此得知（并且不難直接驗(yàn)證）δgμν＝△εgμν是場(chǎng)方程

對(duì)于源擾動(dòng)δΤμν＝△εΤμν的解，但是上面方程是線性微分方程，因此，給定了任何解δgμν以后，我們總可以找到形如δgμν＝△εgμν的具有完全相同的物理內(nèi)容的其他解，對(duì)于任意函數(shù)εμ（x）可以任意的添加△εgμν項(xiàng) 方程中引進(jìn)△ε可以推廣到任意張量，只需說明涉及該張量用ε的協(xié)變導(dǎo)數(shù)并縮的項(xiàng)，對(duì)于每個(gè)協(xié)變指標(biāo)應(yīng)取+號(hào)而對(duì)每個(gè)逆變指標(biāo)應(yīng)取-號(hào)，也就是說對(duì)于標(biāo)量，我們定義

對(duì)于矢量我們定義

對(duì)于二階逆變和混合張量我們定義

等等！按這種方式定義的△ε叫做lie導(dǎo)數(shù)，一般來說，無限小坐標(biāo)變換對(duì)于任何張量Τ的影響是新張量等于在同一坐標(biāo)點(diǎn)的老張量，加上lie導(dǎo)數(shù)△εΤ容易證明，算符△ε具有同普通導(dǎo)數(shù)和協(xié)變導(dǎo)數(shù)相同的抽象性質(zhì)，它是線性的

它滿足Leibniz法則

它同縮并運(yùn)算對(duì)易

特別是對(duì)于理想流體，能量-動(dòng)量張量的Lie導(dǎo)數(shù)是

所以△εgμν是Einstein方程對(duì)于其速度，壓強(qiáng)和密度分別受到擾動(dòng)△εUμ△εp和△εp的流體的解