命題2.5：

如果把一條線段先等分，再分成兩條不相等的線段，那么不相等的兩條線段構(gòu)成的矩形，與兩分點(diǎn)之間一段上的正方形之和等于原線段一半上的正方形

已知：線段AB，點(diǎn)C為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上

求證：S矩形AD×BD+S正方形CD2=S正方形BC2

解：

在BC上作正方形CEFB

（命題1.46）

連接BE

（公設(shè)1.1）

過點(diǎn)D作DG∥CE或BF

（命題1.31）

過點(diǎn)H作KM∥AB或EF

（命題1.31）

證：

∵正方形CEFB中，BE為對角線

（已知）

∴S補(bǔ)形CDHL=S補(bǔ)形FMHP

（命題1.43）

∴S矩形CL×BC=S矩形BDPF

（公理1.2）

∵S矩形AK×AC=S矩形CL×BC

（已知）

∴S矩形AK×AC=S矩形BDPF

（公理1.1）

∴S矩形AK×AD=S磬折形NOP

（公理1.2）

∵正方形BDHM中，BD=DH

（定義1.22）

∴S矩形AK×AD=S矩形AD×BD

（命題1.34＆公理1.1）

∴S矩形AD×BD=S磬折形NOP

（公理1.1）

∵S正方形LEGH=S正方形CD2

（命題1.34＆公理1.1）

∴S矩形AD×BD+S正方形CD2=S磬折形NOP+S正方形LEGH

（公理1.2）

∵S磬折形NOP+S正方形LEGH=S正方形BC2

（已知）

∴S矩形AD×BD+S正方形CD2=S正方形BC2

（公理1.1）

證畢

此命題將在命題2.14中被使用