這是一個(gè)線性方程組：

可以將它改寫成矩陣形式：

其中，矩陣

為系數(shù)矩陣；

矩陣

為增廣矩陣。

在寫出增廣矩陣后，我們可以發(fā)現(xiàn)，線性方程組方程相消的解法等價(jià)于對(duì)增廣矩陣做初等行變換。

將其變換成一個(gè)行最簡(jiǎn)形矩陣：

可以發(fā)現(xiàn)

不過，我們一般用矩陣的秩來表達(dá)這個(gè)條件，即：

若r(A)<r(A,b)，則方程組無解；

若r(A)=r(A,b)，則方程組有解。

而有解還能分為兩種情況，即僅有一組解，和有無窮多解，其判別標(biāo)準(zhǔn)是看（初等變換后）方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)是否一致，即：

當(dāng)

有一組解；

當(dāng)

有無窮組解。

（n是未知數(shù)個(gè)數(shù)，也是系數(shù)矩陣的列數(shù)）

對(duì)以上結(jié)論進(jìn)行一下歸納：

同時(shí)我們還能得到一個(gè)推論：

這是為什么呢？det(A)≠0，意思是矩陣A滿秩；而前提條件給了A是n階方陣，那么A滿秩就意味著其行數(shù)（方程個(gè)數(shù)）=列數(shù)（未知數(shù)個(gè)數(shù)），即方程組有唯一解。

上面介紹了初等變換的解法，接下來再簡(jiǎn)單過一下克萊默法則。

首先要明確它的前提條件：系數(shù)矩陣A是方陣，且det(A)≠0。

它的內(nèi)容是：

其中，D=det(A)，

通過克萊默法則還能引申出下面這個(gè)定理：