史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線(xiàn)性微分方程的一般理論

&3.1二階齊次 線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)

定理：設(shè)y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0在（a，b）兩個(gè)解，那么y1，y2在（a，b）上線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：w(x)在（a，b）上處處不為0。

證明：

（充分性）——140已證。

（必要性）——

1. 反證法：已知y1，y2在（a，b）上線(xiàn)性無(wú)關(guān)，若存在x0∈（a，b），使得w(x0)=0，即行列式y(tǒng)1(x0)y2(x0)'-y2(x0)y1(x0)'=0；

2. 由克萊姆法則可知，對(duì)關(guān)于c1，c2齊次方程組：

1. y1(x0)c1+y2(x0)c2=0

2. y1(x0)'c1+y2(x0)'c2=0

存在不全為0的解c1，c2；

3. 令Y(x)=y1(x0)c1+y2(x0)c2，則Y(x)也是y''+p(x)y'+q(x)y=0的解，又y(x)=0也滿(mǎn)足上述方程組構(gòu)成的初值條件Y(x)=0，Y(x)'=0，由初值條件下解的唯一性，得Y(x)=0；

4. 由3：存在不全為0的解c1，c2，使得y1(x0)c1+y2(x0)c2=0，于是y1，y2在（a，b）上線(xiàn)性相關(guān)，與假設(shè)矛盾，故而w(x)在（a，b）上處處不為0。

定理：方程y''+p(x)y'+q(x)y=0必有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解。

證明：略（需要用到同構(gòu)映射的知識(shí)，后面復(fù)習(xí)代數(shù)的時(shí)候再補(bǔ)。）

?定理：設(shè)y1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，那么方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解為y=c1y1(x)+c2y2(x)。

證明：

1. 要證，任意給出方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的解Y(x)，存在唯一的解c1，c2，使得非零解Y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，即存在x0，對(duì)關(guān)于c1，c2齊次方程組：

1. y1(x0)c1+y2(x0)c2=Y(x0)

2. y1(x0)'c1+y2(x0)'c2=Y(x0)'

存在不全為0的解c1，c2；


2. 因?yàn)閥1，y2是方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，所以行列式w(x0)=y1(x0)y2(x0)'-y2(x0)y1(x0)'不為0；

3. 由克萊姆法則，方程組存在不全為0的唯一解c1，c2；

4. 再令Y1(x)=c1y1(x)+c2y2(x)，顯然Y1(x)也滿(mǎn)足初值條件Y1(x)=Y(x)，Y1(x)'=Y(x)'，由初值條件下解的唯一性可知：任意給出方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的解Y(x)，存在唯一的解c1，c2，使得非零解Y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)。