小明、小杰分別站在邊長(zhǎng)為12米的正方形道路ABCD的頂點(diǎn)D、C處，他們開始各以每秒1米和每秒1.2米的速度沿正方形道路按順時(shí)針方向勻速行走。[參見 ?上海教育出版社 《數(shù)學(xué)》六年級(jí) 第二學(xué)期（試用本）]

問題：

（1）經(jīng)過(guò)多少秒，小明第一次（初始位置除外）到達(dá)點(diǎn)D處，且小杰第一次到達(dá)點(diǎn)C處？

（2）經(jīng)過(guò)多少秒，小明第二次到回到D處，且同時(shí)小杰第二次到達(dá)點(diǎn)C處？有什么規(guī)律？

（3）經(jīng)過(guò)多少秒，小明和小杰第一次都同時(shí)處在正方形的頂點(diǎn)處？ 這時(shí)他們分別處在哪兩個(gè)字母表示的頂點(diǎn)處？

（4）經(jīng)過(guò)多少秒，小明和小杰第一次都同時(shí)處在正方形的同一個(gè)頂點(diǎn)處？ 這個(gè)頂點(diǎn)的字母是什么？

（5）小明和小杰能同時(shí)出現(xiàn)在頂點(diǎn)D處嗎？ 為什么？

?

（6）可能出現(xiàn)小明帶D點(diǎn)而小杰能在頂點(diǎn)B處嗎？ 為什么？

題目1）思路和過(guò)程分析：

為了分析方便，設(shè)正方形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，正方形邊長(zhǎng)為W，小明走的路程為S1，小杰走的路程為S2。據(jù)題意小明和小杰同時(shí)回到各自的出發(fā)點(diǎn)D，所以他們走過(guò)的路程是正方形周長(zhǎng)的整數(shù)倍，其中

則小明走的路程S1為正方形的周長(zhǎng)L的整數(shù)倍

當(dāng)然小杰走的路程為正方形的周長(zhǎng)L的整數(shù)倍

可以知道小明和小杰走過(guò)的路程的差值?S肯定也是正方形周長(zhǎng)L的整數(shù)倍【小明、小杰花費(fèi)的時(shí)間T當(dāng)然是相同的】，其中

解答：據(jù)以上分析，我們分析可列出式子

我們知道最小的正整數(shù)1，即n=1時(shí)經(jīng)過(guò)T=240秒時(shí)，小明第一次同時(shí)小明回到D點(diǎn)，小杰同時(shí)也回到C點(diǎn)。

題目2）思路和過(guò)程分析：

解答：從1）解答可知，當(dāng)秒時(shí)，此時(shí)小明回到D點(diǎn)，同時(shí)小杰第二次回到C點(diǎn)。

題目3）思路和過(guò)程分析：

應(yīng)意識(shí)到這題和第1）題不同之處：

a)????? 本題是問何時(shí)小明和小杰各自同時(shí)處于正方形的某個(gè)頂點(diǎn)（A，B，C，D都有可能），意思是他們的路程差只需要是正方形邊長(zhǎng)（W=12米）的整數(shù)倍即可；

b)???? 而第1）題隱含的意思是各自回到各自的出發(fā)點(diǎn)（小明回到D點(diǎn)，小杰到C點(diǎn)），所以他們的路程差?S=S2-S1是正方形周長(zhǎng)（L=48米）的整數(shù)倍（設(shè)為n）；

解答：按a）的分析，我們可以列出式子

n為整數(shù)，因此當(dāng)T=60秒時(shí)小明小杰同時(shí)在正方形的某個(gè)頂點(diǎn)，用如下辦法找出這個(gè)頂點(diǎn)：

• 小明走的路程S1=1*T=60米，則S1/W=60/12=5，即小明走了5個(gè)邊長(zhǎng)，數(shù)一數(shù)知小明此時(shí)處于C點(diǎn)；

• ?小杰走的路程S1=1.2*T=72米，則S2/W=72/12=6，即小杰走了6個(gè)邊長(zhǎng)，數(shù)一數(shù)知小杰此時(shí)處于A點(diǎn)。

題目4）思路和過(guò)程分析：

據(jù)題小明和小杰相遇在同一頂點(diǎn)，又已知最初小明和小杰之間距離只差1個(gè)正方形邊長(zhǎng)W，如果要在某個(gè)時(shí)刻相遇（即經(jīng)過(guò)一段時(shí)間行走后消除了這個(gè)差距），那么他們走過(guò)的路程的差值?S=S2-S1肯定是滿足正方形周長(zhǎng)的整數(shù)倍減去1個(gè)邊長(zhǎng)W。

解答：小杰和小明走過(guò)的路程差

同時(shí)路程差?S也滿足關(guān)系

據(jù)分析可得如下等式

n必須取整數(shù)，可能取值為n=0,1,2,3,….，所以T的可能取值為

n=0不符題意，我們?nèi)=1，則T=180秒時(shí)小明、小杰為第一次處于同一頂點(diǎn)，可驗(yàn)證這頂點(diǎn)為A點(diǎn)。

驗(yàn)證方法：小明走的路程S1=1*T=180米，而180/12=15，即小明走了15個(gè)邊長(zhǎng)，所以小明處于A點(diǎn)；小杰走的路程S1=1.2*T=216米米，而216/12=18，即小杰走了18個(gè)邊長(zhǎng)，則此時(shí)小杰也是處于A點(diǎn)。

題目5）思路和過(guò)程分析：

解答：小明和小杰同時(shí)處于D點(diǎn)，考慮相同時(shí)間?各自走過(guò)的路程

a)????? 小明走過(guò)的路程是正方形周長(zhǎng)的整數(shù)倍（設(shè)為n），即

b)??? 小杰出走過(guò)的路程S2正方形周長(zhǎng)的整數(shù)倍（設(shè)為）加3個(gè)邊長(zhǎng)W，其中W=1/4*L，則可得

可以列出比例關(guān)系，從而消去L和T

為便于觀察，我們把這個(gè)表達(dá)式進(jìn)行變換，可把m表為n的表達(dá)式

4n+5是不可能被20整除的，因此小明和小杰是不可能同時(shí)處于D點(diǎn)的。

備注：很容易看出，無(wú)論取何整數(shù)值，4n+5永遠(yuǎn)是奇數(shù)，而20是偶數(shù)，所以4n+5是不可能被20整除的，因此m不可能取整數(shù)，即不可能找到一對(duì)正整數(shù)m、n使上述關(guān)系成立。

題目6）思路和過(guò)程分析：

解答：采用和5）題類似的方法：相同時(shí)間T，考慮相同時(shí)間各自走過(guò)的路程

a)??小明處于D點(diǎn)（回到出發(fā)點(diǎn)），意味著其走過(guò)的路程S1是正方形周長(zhǎng)的整數(shù)倍（設(shè)為n），即

b)??小杰位于B點(diǎn)，意味著其走過(guò)的路程S2是正方形周長(zhǎng)整數(shù)倍（設(shè)為m）加1個(gè)邊長(zhǎng)，即

可以列出如下比例關(guān)系消去L和T

?

因此小明在D點(diǎn)、小杰在B點(diǎn)是不可能同時(shí)出現(xiàn)的。

備注：可以看出，無(wú)論取何值4n-5總是奇數(shù)，而20是偶數(shù)，所以4n-5不能被20整除，則m不可能取整數(shù)。