史濟懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線性微分方程的一般理論

&3.1二階齊次 線性方程解的結(jié)構(gòu)

定理（基本解組）：設(shè)y1，y2是方程y''+p1(x)y'+q1(x)y=0和方程y''+p2(x)y'+q2(x)y=0在（a，b）兩個線性無關(guān)的解，那么p1(x)=p2(x)，q1(x)=q2(x)。

證明：

step1：證明p1(x)=p2(x)——

1. （反證法）假設(shè)存在x0∈(a,b)，p1(x0)≠p2(x0)，則p1(x0)-p2(x0)≠0，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的局部保號性，存在x0∈(α,β)包含于(a,b)，對任意x∈(α,β)，p1(x)-p2(x)≠0；

2. 作差：[y''+p1(x)y'+q1(x)y]-[y''+p2(x)y'+q2(x)y]=[p1(x)-p2(x)]y'+[q1(x)-q2(x)]y=0；

3. 因為p1(x)-p2(x)≠0，則y'+{[q1(x)-q2(x)]/[p1(x)-p2(x)]}y=0；

4. 令p(x)=[q1(x)-q2(x)]/[p1(x)-p2(x)]，y'+p(x)y=0——為一階線性齊次方程，通解為：

????——由上得c2y1-c1y2=0，即y1，y2是線性相關(guān)的，導(dǎo)出矛盾，故而p1(x)=p2(x)。

step2：證明q1(x)=q2(x)——

1. 作差：[y''+p1(x)y'+q1(x)y]-[y''+p2(x)y'+q2(x)y]=[q1(x)-q2(x)]y=0；

2. 由上式解得：如果y1≡0，y2≡0，與y1，y2是線性無關(guān)矛盾，故而q1(x)-q2(x)=0，即q1(x)=q2(x)，證畢。

定理：兩個線性無關(guān)的函數(shù)y1(x)，y2(x)構(gòu)成某一個二階線性齊次方程的基本解組的充分必要條件是它們的Wronsky行列式w(x)處處不為0。