#練習(xí)生打卡

1.定理1.62。

①無窮積分收斂，則一定可化為收斂的無窮級數(shù)。

②反之，則不一定，要確保成立需要加條件。如果級數(shù)能化成∑∫[an,an+1]f(x)dx（an遞增趨于+∞，f≥0）收斂，則f[a,+∞]f(x)dx收斂。括號里的內(nèi)容為加的條件。

2.級數(shù)的通項趨于零，無窮積分中被積函數(shù)則不一定。因為前者是離散的，而后者連續(xù)/離散靈活度高，可以構(gòu)造f(x)不是無窮?。ó?dāng)x→+∞時）甚至不收斂但無窮積分收斂的情況。

例子一是Ayumu構(gòu)造的例1.120，二是經(jīng)典例子f(x)=x/(1+x?sin2x)。f(x)都不趨于零，但無窮積分收斂，無窮積分的收斂靠定理1.62保證。

3.無窮積分的Cauchy收斂原理。

其實就是特殊的函數(shù)Cauchy收斂原理。

4.絕對收斂和條件收斂。

①由上條立即推得無窮積分版“絕對收斂必收斂”。

②條件收斂的例子：∫[0,+∞]sinx/xdx

（Dirichlet積分）

5.∫[a,b]f(x)dx可積?∫[a,b]｜f(x)｜dx可積

逆命題不成立，反例又雙叒叕是Dirichlet函數(shù)。（這回是改造版）

∫[a,+∞)｜f(x)｜dx可積?∫[a,+∞)f(x)dx可積

逆命題也不成立。（根據(jù)4）