本來想要今天能夠把這部分習(xí)題解決的，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，碼出來字還比較多，才4題就2400多字了，所以今天就聊這四題，剩下的明天繼續(xù)！

32極限求法的例題

例1、例2對應(yīng)的是兩個重要的函數(shù)：多項式函數(shù)、有理分式函數(shù)——

1.多項式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列——

P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak——

分析思路——考慮到“任意有限無窮小的和仍為無窮小”以及“收斂數(shù)列可以表示為常數(shù)與無窮小和的形式”——

1. P（n）=n^k[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]；

2. n^k顯然是無窮大，而括號里面除了a0，其余各項都是無窮小，故而括號內(nèi)這個式子趨向于a0；

3. 由此P（n）為無窮大。

2.有理分式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列——

取P（n）為任意多項式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列，Q（n）是非零多項式函數(shù)對應(yīng)的數(shù)列，則有理分式函數(shù)即為P（n）/Q（n）：P（n）=a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak，Q（n）=b0n^j+b1n^（j-1）+……+bj-1n+bj?——分類討論：

1. k=j——P（n）/Q（n）=[a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak]/[b0n^k+b1n^（k-1）+……+bk-1n+bk]=[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]/[b0+(b1/n)+……+bk-1/n^（k-1）+bk/n^k]，分子極限為a0，分母極限為b0，再由數(shù)列極限的除法性質(zhì)，P（n）/Q（n）趨向于a0/b0；

2. k>j——P（n）/Q（n）=[a0n^k+a1n^（k-1）+……+ak-1n+ak]/[b0n^j+b1n^（j-1）+……+bj-1n+bj?]=n^k[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]/n^j[b0+(b1/n)+……+bj-1/n^（j-1）+aj/n^j]=[n^（k-j）]{[a0+(a1/n)+……+ak-1/n^（k-1）+ak/n^k]/[b0+(b1/n)+……+bj-1/n^（j-1）+bj/n^j]}，由1我們知道大括號內(nèi)有理數(shù)列趨向于a0/b0，n^（k-j）趨向于無窮大，所以P（n）/Q（n）此時為無窮大；

3. k<j——分析同2，P（n）/Q（n）此時為無窮小。
   

這兩種類型的數(shù)列或者函數(shù)都極其重要，尤其是學(xué)到后面泰勒公式、不定積分等部分，就更明顯了。

例3、例4的思想類似于后面我們求定積分的思想，也是最經(jīng)典的積分應(yīng)用的習(xí)題其中之二——

3.求三角椎體的體積公式

已知三棱椎體底面積為S，高為h，我們已知三棱柱體的體積=底面積*高——

1. 我們將三棱錐的高等分成n份，那么自然每個三棱柱高為h/n，按照這些高度平行于底面依次將三棱椎體切割成n份；

2. 三棱錐的每一份，都擁有一個較大的截面和較小的截面；

3. 三棱錐每一份的體積，都位于以較大的截面為底的三棱柱與以較小的截面為底的三棱柱之間；

4. 由小到大得到的所有截面都與三棱椎體底面相似，且對應(yīng)邊長比例由上到下為0：（1/n）：（2/n）：……：（n/n），面積比為0：（1/n）^2：（2/n）^2：……：（n/n）^2；

5. 我們求所有以較大的截面為底的三棱柱的體積和V'=（h/n）[（1/n）^2+（2/n）^2+……+（n/n）^2]S=[（Sh/n）（1+4+……+n^2）]/（n^2）=Sh{[n（n+1）（2n+1）]/（6n^3）}=Sh[（2n^3+3n^2+n）/（6n^3）]，我們由例2知這個體積當(dāng)n趨向于無窮的時候，V'趨向于（1/3）Sh；

6. 我們求所有以較小的截面為底的三棱柱的體積和V=（h/n）{（0/n）^2+（1/n）^2+……+[（n-1）/n]^2}S={（Sh/n）[0+1+……+（n-1）^2]}/（n^2）=Sh{[n（n-1）（2n-1）]/（6n^3）}=Sh[（2n^3-3n^2+n）/（6n^3）]，我們由例2知這個體積當(dāng)n趨向于無窮的時候，V趨向于（1/3）Sh；

7. 又由于椎體體積V錐滿足V<V錐<V'，利用夾逼準則：得到三角錐體體積公式V錐=（1/3）Sh。

4求拋物線與x軸圍成的圖形的面積

已知拋物線公式為y=ax^2（a>0），是一條開口朝上，函數(shù)值恒為正數(shù)，過原點的圖線，我們要求（-x，x）函數(shù)圖線與x軸圍成的圖形的面積，和例3同理，我們用切割求和的方法得到——

1. 因為圖線對稱，我們求出（0，x）之間圖線與x軸圍成的面積然后乘以2即可；

2. 將（0，x）分為n份，然后得到n個長度為x/n的小線段，端點坐標分別為0、x/n、2x/n、……（n-1）x/n、nx/n；

3. 每一個端點對應(yīng)的函數(shù)值分別為：0、a（x/n）^2、a（2x/n）^2、……、a[（n-1）x/n]^2、a(nx/n)^2；

4. 每一個小線段，都產(chǎn)生一個較大的函數(shù)值和較小的函數(shù)值；

5. 每一份小線段與函數(shù)圖線圍成的面積，都位于以較大的函數(shù)值為高的矩形與以較小的函數(shù)值為高的矩形之間；

6. 我們求所有以較大的函數(shù)值為高的矩形的面積和S'=（x/n）{a（x/n）^2+a（2x/n）^2+……+a[（n-1）x/n]^2+a(nx/n)^2}=[a（x/n）^3][1+4+……+（n-1）^2+n^2]=[a（x/n）^3]{[n（n+1）（2n+1）]/6}=ax^3[（2n^3+3n^2+n）/6n^3]，我們由例2知這個面積和當(dāng)n趨向于無窮的時候，S'趨向于（1/3）ax^3；

7. 我們求所有以較小的函數(shù)值為高的矩形的面積和S=（x/n）{a（0/n）^2+a（x/n）^2+……+a[（n-2）x/n]^2+a[（n-1）x/n]^2}=[a（x/n）^3][1+4+……+（n-1）^2]=[a（x/n）^3]{[n（n-1）（2n-1）]/6}=ax^3[（2n^3-3n^2+n）/6n^3]，我們由例2知這個面積和當(dāng)n趨向于無窮的時候，S趨向于（1/3）ax^3；

8. 又由于所求面積S圍滿足S<（1/2）S圍<S'，利用夾逼準則：得到所求面積S圍=2（1/3）ax^3=（2/3）x（ax^2）=（2/3）xy。

明天繼續(xù)！