不自量力 -- 觀察和算符

2021-10-31 23:22 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

這個專欄主要是著重"觀察",? 但是數(shù)學過程和結論是跟"算符"一致的,? 所以還請各位帶佬輕噴.

由于 unicode 字體不太統(tǒng)一,? 在某些地方可能會出現(xiàn)顯示錯誤,? 這里標注一下在寫這篇專欄時可能會產(chǎn)生歧義的符號:? ? φ? ??

波函數(shù)與位置算符

在經(jīng)典力學里,? 質點的位置總是確定的.? 在一維空間里,? 當質點處于位置 x?,? 那么可以重新描述為 "質點以100%概率出現(xiàn)在位置 x?".? 假設有一個函數(shù) ψ,? 以任意位置 x 輸入函數(shù),? 并返回這個位置找到質點的*概率*(準確來說是概率密度),? 那么經(jīng)典力學里描述質點概率的函數(shù)為? $%5Cpsi(x)%3D%5Cdelta(x-x_0)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_0%5C%5C0%2C%5C%2Cx%5Cneq%20x_0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 其中 δ 函數(shù)就不介紹了,? 不了解的可以百度億下.

定義位置算符為? $%5Chat%20x%20%3D%20x$ ,? 那么把位置算符作用在上面的函數(shù)里可以得到? $%5Chat%20x%5Cpsi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx_0%5Ccdot%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_0%5C%5C0%2C%5C%2Cx%5Cneq%20x_0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%3Dx_0%5Cdelta(x-x_0)$ .? 可以看到位置算符作用在上面的函數(shù)里得出了質點位置乘上函數(shù)本身,? 那么可以說位置算符從上述函數(shù)里提取出位置信息.

換一個例子:? 假設質點的位置不再是確定的,? 而是有50%概率出現(xiàn)在 x?, 另外50%概率出現(xiàn)在 x?,? 那么不難構造出質點關于位置的概率函數(shù):?? $%5Cpsi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D50%5C%25%5Ccdot%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_0%5C%5C50%5C%25%5Ccdot%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_1%5C%5C0%2C%5C%2Cx%5Cnotin%5C%7Bx_0%2Cx_1%5C%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ .? 類似地,? 把位置算符作用在上述函數(shù)里可以得到? $%5Chat%20x%5Cpsi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx_0%5Ccdot50%5C%25%5Ccdot%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_0%5C%5Cx_1%5Ccdot50%5C%25%5Ccdot%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_1%5C%5C0%2C%5C%2Cx%5Cnotin%5C%7Bx_0%2Cx_1%5C%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 不難可以把乘數(shù)提取為另外一個函數(shù) X:? $X(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx_0%2C%5C%2Cx%3Dx_0%5C%5Cx_1%2C%5C%2Cx%3Dx_1%5C%5Cany%2C%5C%2Cx%5Cnotin%5C%7Bx_0%2Cx_1%5C%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 整理得?? $%5Chat%20x%5Cpsi(x)%3DX(x)%5Cpsi(x)$ .? 不難看出函數(shù) X 與上一個例子 $%5Chat%20x%5Cdelta(x-x_0)%3Dx_0%5Cdelta(x-x_0)$ ?里右邊部分的 x? 有類似的意義,? 即可以說算符從分布函數(shù)里提取出位置.

引入概率輻的概念:? 概率輻為一個復數(shù),? 概率輻模長的平方代表經(jīng)典概率(使用平方是因為函數(shù)歸一化的原因, 見下).? 那么上面質點可能出現(xiàn)在兩個位置的概率函數(shù)應該為?? $%5Cpsi(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cleft(%5Csqrt%202e%5E%7Bi%5Cvarphi_0%7D%5Cright)%5Ccdot%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_0%5C%5C%5Cleft(%5Csqrt%202e%5E%7Bi%5Cvarphi_1%7D%5Cright)%5Ccdot%2B%5Cinfty%2C%5C%2Cx%3Dx_1%5C%5C0%2C%5C%2Cx%5Cnotin%5C%7Bx_0%2Cx_1%5C%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 其中 φ?, φ? 為復數(shù)的相位,? 可以為任意實數(shù).? 不難知道從概率換為概率輻之后,? 位置算符的意義也是沒有改變的.??關于概率輻的相位部分,? 也許下面部分會稍微提一下.? 這時這個概率函數(shù)就是一個合格的波函數(shù)了.

質點可能出現(xiàn)在兩個位置的概率函數(shù)可以重寫為? $%5Cpsi(x)%3D(%5Csqrt2e%5E%7Bi%5Cvarphi_0%7D)%5Cdelta(x-x_0)%2B(%5Csqrt2e%5E%7Bi%5Cvarphi_1%7D)%5Cdelta(x-x_1)$ ,? 其中 δ(x-x?) 表示質點以100%概率出現(xiàn)在 x? 處,? 所以這個函數(shù)可以表述為 ψ 處于 δ(x-x?) 與 δ(x-x?) 的疊加態(tài)中.

算符與可觀察量

數(shù)學上對算符(Operator)的定義與函數(shù)是類似的:? 算符 ??從一個函數(shù) f 映射為另一個函數(shù) g;?? $%5Chat%20O%3A%5C%3Af%5Crightarrow%20g$ .? 但是物理,? 特別是量子力學里對算符的定義沒有數(shù)學上那么普遍,? 所以數(shù)學上算符的性質就不在這里展開討論了.

量子力學里把所有可觀察量(Observable)定義為相應的算符,? 比如上面的位置 x 有對應的位置算符 x?,? 類似地還有動量算符 p?, 角動量算符 L?, 等.? 算符作用在波函數(shù)上可以得出? $%5Chat%20O%5CPsi%3DO%5CPsi$ ,? 如同上面位置算符一樣,? 等式右邊 O 表示可觀察量本身,??并且不一定是常數(shù).

特殊地有哈密頓算符 H? 和能量算符 E?,? 哈密頓量表征著系統(tǒng)的總能量,? 所以在量子力學里認為這兩個量是絕對相等的,? 于是得到薛定諤方程? $%5Chat%20H%5CPsi%3D%5Chat%20E%5CPsi%3Di%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial%5CPsi%7D%7B%5Cpartial%20t%7D$ ,? 一般情況下應該寫右邊的展開式,? 而不是 E?Ψ.

如果某個函數(shù) ψ 與特定的算符 O? 滿足特征方程(或本征方程, Eigen equation)? $%5Chat%20O%5Cpsi%3D%5Clambda%5Cpsi$ ,? 其中 λ 是一個常數(shù),? 這時稱 λ 為算符 O? 的特征值(或本征值, Eigenvalue),? ψ 為特征值 λ 對應的特征函數(shù)(或本征函數(shù), Eigenfunction).? 當波函數(shù) ψ 為算符 O? 的特征函數(shù)時,? 可觀察量以100%概率取確定值 λ,??這時 λ 有著與經(jīng)典力學的力學量相同的意義,? 也就是說 λ 必須為實數(shù).? 當算符的特征值全為實數(shù)時,? 則稱這個算符為厄米算符,? 所以量子力學里的所有可觀察量對應的算符都是厄米算符.? 定義兩函數(shù)的內積為? $(u%2Cv)%3D(v%2Cu)%5E*%3D%5Cint_Du%5E*vd%5Ctau$ ,? 積分區(qū)域為整個空間,??則厄米算符 O? 滿足關系 (u,O?v) = (O?u,v) (通用的證明過程有點小長, 這里就不展示了).? 以坐標算符 x? 為例,? 經(jīng)過上面討論可以知道,? 坐標算符的特征值是 x?,? 對應的特征函數(shù)為?δ(x-x?).? 實際上,? 哈密頓算符的特征方程就是定態(tài)薛定諤方程 H?ψ = Eψ,? 其中 E 表示系統(tǒng)的能量 (實常數(shù)).

需要注意的是,? 對于特定算符?O? 的某個特征值 λ,? 相應的特征函數(shù)不一定只有一個,? 稱這樣的體系為簡并系,? 而且對于某個特征函數(shù),? 相應的特征值只有一個 (廢話).? 一個特征值對應著 k 個特征函數(shù)時,? 稱為 k 簡并度.? 以氫原子為例,? 解關于氫原子電子的哈密頓算符的特征方程,? 解得 E<0 時有無窮個分立特征值 E?,? 并且每個特征值對應著多個特征函數(shù)?ψ?,?,?,? 根據(jù) n, l, m 之間的關系可以得出,? 氫原子是 n2 簡并度的.? 另外,? 特征值也不一定是分立的,? 比如在線性諧振子里,? 能量總是分立的,? 但在方形勢壘里能量是連續(xù)的,? 而在氫原子里,? E≤0 時特征能量是分立的,? E>0時是連續(xù)的.

觀察與波函數(shù)坍縮

需要注意到,? 任意厄米算符?O? 里不同的特征值所對應的特征函數(shù)的互相正交的,? 即兩個任意特征值 λ? 和 λ?,? 并且 λ? ≠?λ?,? 對應的特征方程為 ψ? 和 ψ?,? 則有 (ψ?,ψ?) = 0.? 這時很容易證得的.? 因為厄米算符滿足?(u,O?v) = (O?u,v),? 所以 (O?ψ?,ψ?) =?(ψ?,O?ψ?),? 又因為?ψ?,ψ? 是?O? 的特征函數(shù),? 得到?(λ?ψ?,ψ?)?=?(ψ?,λ?ψ?) ==>?λ?(ψ?,ψ?)?=?λ?(ψ?,ψ?),? 因為?λ??≠?λ?,? 所以一定有?(ψ?,ψ?) = 0.? 一般地,? 如果特征函數(shù)全部經(jīng)過歸一化,? 有 (ψ,ψ) = ||ψ||2 = 1,? 那么合并上面的情況得? $(%5Cpsi_n%2C%5Cpsi_%7Bn'%7D)%3D%5Cdelta_%7Bn%2Cn'%7D%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%2C%5C%2Cn%3Dn'%5C%5C0%2C%5C%2Cn%5Cneq%20n'%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$ ,? 并且這個結論無論特征值是否分立都是成立的.

對于簡并系,? 同一個特征值對應的特征函數(shù)在求解時不一定是互相正交的,? 但是存在方法構造出另外一組歸一正交的特征函數(shù),? 常用的方法有格拉姆-施密特(Gram–Schmidt)正交化,? 下面著重介紹一下這個方法:? 對于一組函數(shù) {ψ?},? 有 φ? = ψ? /?||ψ?||2.? 設 φ'? = ψ? + c?? φ?,? 使得 (φ'?,φ?) = 0,? 即 (ψ?,φ?) +?c??(φ?,φ?) = 0,? 得到?c?? = -(ψ?,φ?),? 然后得到?φ??= φ'? /?||φ'?||2.? 設?φ'??=?ψ??+?c???φ? + c???φ?,? 使得?(φ'?,φ?) = 0 和?(φ'?,φ?) = 0,? 求得?c?? =?-(ψ?,φ?) 和?c?? =?-(ψ?,φ?),? 然后得到?φ??=?φ'??/?||φ'?||2.? 如此類推,? 得到一組歸一正交的函數(shù)?{φ?}.

當一組函數(shù)僅由互相正交并且歸一化的函數(shù)組成,? 在數(shù)學上知道這組函數(shù)是完備的,? 則稱這組函數(shù)組成標準正交完備系.? 完備性的描述如下:? 有一組完備函數(shù) {φ?},? 那么任意函數(shù) ψ 都可以展開為?{φ?} 的線性組合?? $%5Cpsi%3D%5Csum_kc_k%5Cvarphi_k$ ,? 其中 c??是與函數(shù)因變量無關的量(可能與時間有關).? 對信號分析有丶熟悉的人來說,? 一組完備函數(shù)可以作為廣義傅里葉變換的基,? 或者對有丶熟悉泛函分析的人來說,? 一組完備函數(shù)是希爾伯特空間中的一組基.? 當函數(shù)簇是正交時有? $(%5Cvarphi_%7Bk'%7D%2C%5Cpsi)%3D%5Csum_k(%5Cvarphi_%7Bk'%7D%2Cc_k%5Cvarphi_k)%3D%5Csum_kc_k(%5Cvarphi_%7Bk'%7D%2C%5Cvarphi_k)%3D%5Csum_kc_k%5Cdelta_%7Bk%2Ck'%7D%7C%7C%5Cvarphi_k%7C%7C%5E2%3Dc_%7Bk'%7D%7C%7C%5Cvarphi_%7Bk'%7D%7C%7C%5E2$ ,? 于是得出? $c_k%3D(%5Cvarphi_k%2C%5Cpsi)%2F%7C%7C%5Cvarphi_k%7C%7C%5E2$ ,? 如果函數(shù)簇也是歸一的,? 有 c? = (φ?, ψ).? 綜上所述,? 可觀察量算符?O? 有特征值 λ? (無論特征值是否連續(xù)),? 每個特征值有對應的特征函數(shù)?{φ?}? 或 {φ?,?} (對于某些簡并系 k 的值與 n?有關),? 并且所有特征函數(shù)組成標準正交完備系.

任意波函數(shù) ψ 在?O? 下可以展開為? $%5Cpsi%3D%5Csum_%7Bn%2Ck%7Dc_%7Bn%2Ck%7D%5Cvarphi_%7Bn%2Ck%7D$ ,? 并且因為 ψ 是歸一的,? 那么有 $%5Csum_%7Bn%2Ck%7D%7Cc_%7Bn%2Ck%7D%7C%5E2%3D1$ .? 當對可觀察量 O 進行觀察時,? 觀察得到特定值 λ? 的概率為? $%5CPr(%5Clambda_n)%3D%20%5Csum_%7Bk%7D%7Cc_%7Bn%2Ck%7D%7C%5E2$ .? 相反,? 當觀察得到值?λ? 之后,? 這時(同一瞬間)再對 O 進行觀察,? 會以100%概率得到?λ?,? 這種現(xiàn)象被稱為[波函數(shù)坍縮]*,? 觀察這個行為對波函數(shù)產(chǎn)生了顯著的影響,? 仿佛觀察時波函數(shù)[損失]**了除了?λ? 以外的所有信息,? 準確來說波函數(shù)在完備系里發(fā)生了以下變化? $c_%7Bn'%2Ck%7D%5Cleftarrow%20%5Cfrac%7Bc_%7Bn'%2Ck%7D%5Cdelta_%7Bn%2Cn'%7D%7D%7B%5CPr(%5Clambda_n)%7D$ .

在實際情況下,? 由于設備限制,? 對波函數(shù)進行觀察時幾乎無法準確測量出某一特定值,? 比如說"放置"在 x? 處的位置測量設備,? 測量的范圍是 x? 的鄰域而不是 x? 這一個點.? 對于這種觀察存在偏差的情況,? 波函數(shù)的坍縮變化也有類似的結果,? 細說就是加窗傅里葉變換,? 只不過這里是廣義的傅里葉變換,? 窗是一個關于觀察偏差的函數(shù).? 廣義的加窗傅里葉變換就是另外一個高難問題了,? 所以略過.

*:? 波函數(shù)坍縮一直都是量力里的未解之謎,? 上世紀主流解釋為 哥本哈根解釋,? 但近幾年 多宇宙理論 更受人喜愛.? 這里只是稍微提一下,? 有興趣的可以自行了解.

**:? 最近有人根據(jù)信息熵提出:?"觀察這個行為實際上是創(chuàng)造了 '粒子處于狀態(tài) λ?' 這個信息,? 所以是觀察導致了熵增".? 個人來說是比較偏好這個說法的,? 安利一下 (bushi

算符對易和不確定性原理

在對兩個可觀察量 O 和 Q 進行測量時,? 可以分為先測量 O 再測量 Q,? 和先測量 Q 再測量 O 兩種情況 (這里假設兩次測量之間的時間差為0).? 從上面可以知道,? 第一次測量會造成波函數(shù)坍縮,? 從而導致第二次測量不再是測量原本的波函數(shù).? 如果測量 O 時不會改變 Q 的分布,? 那么測量 Q 也不會改變 O 的分布,? 也就是說波函數(shù)可以同時存在 O 和 Q 的確定值,? 則稱 O 和 Q 是相容可觀察量.? 相反,? 如果測量 O 時改變了 Q 的分布,? 那么測量 Q 也會改變 O 的分布,? 波函數(shù)不允許同時在 O 和 Q 取確定值,? 則稱 O 和 Q 是不相容可觀察量.

記??O? 為可觀察量 O 在波函數(shù) ψ?的期望值??O? = (ψ,O?ψ),? 那么可觀察量的誤差為 O?ψ - ?O?,? 定義可觀察量 O 的誤差算符為 ΔO? =?O? -??O?,? 因為?O? 是厄米算符,???O? 是一個數(shù)字,? 所以 ΔO? 也是厄米算符.? 定義一個函數(shù)? $I(s)%3D%5Cint_D%5Cleft%7C%5Cleft(s%5CDelta%5Chat%20O-i%5CDelta%5Chat%20Q%5Cright)%5Cpsi%5Cright%7C%5E2d%5Ctau$ ,? 因為是對模長平方進行積分,? 所以有 I(s)?≥ 0.? 對上式的平方進行展開得? $I(s)%3D%5Cint_Ds%5E2%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%5Cright)%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%5Cright)%5E*%2B%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%5Cright)%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%5Cright)%5E*%2Bis%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%5Cright)%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%5Cright)%5E*-is%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%5Cright)%5E*%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%5Cright)d%5Ctau$ ,

寫為內積形式為? $I(s)%3Ds%5E2%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%2C%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%5Cright)%2B%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%2C%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%5Cright)%2Bis%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%2C%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%5Cright)-is%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cpsi%2C%5CDelta%5Chat%20Q%5Cpsi%5Cright)$ .

因為兩個誤差算符都是厄米算符,? 整理得? $s%5E2%5Cleft(%5Cpsi%2C%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cright)%5E2%5Cpsi%5Cright)%2B%5Cleft(%5Cpsi%2C%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cright)%5E2%5Cpsi%5Cright)-is%5Cleft(%5Cpsi%2C%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5CDelta%5Chat%20Q-%5CDelta%5Chat%20Q%5CDelta%5Chat%20O%5Cright)%5Cpsi%5Cright)$

對最右項的括號進行展開:? ΔO?ΔQ? - ΔQ?ΔO? = (O?-?O?)(Q?-?Q?)-(Q?-?Q?)(O?-?O?) = O?Q? - Q?O?,? 記 [O?,Q?] =?O?Q? - Q?O??為對易括號,? 又由期望值的定義??O??= (ψ,O?ψ),? 可以得到上式為? $I(s)%3Ds%5E2%5Clangle%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cright)%5E2%5Crangle%2B%5Clangle%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cright)%5E2%5Crangle-is%5Clangle%5Cleft%5B%5Chat%20O%2C%5Chat%20Q%5Cright%5D%5Crangle$

注意,? 雖然上式中出現(xiàn)了虛數(shù) i,? 但是根據(jù) I(s) 開始的定義,? 上式必然是實數(shù),? 并且值 ≥0.? 那么根據(jù)一元二次方程知道 (?(ΔO?)2? 是某個值平方的期望,? ≥0),? 必然有關系式? $4%5Clangle%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20O%5Cright)%5E2%5Crangle%5Clangle%5Cleft(%5CDelta%5Chat%20Q%5Cright)%5E2%5Crangle%5Cgeq-%5Clangle%5Cleft%5B%5Chat%20O%2C%5Chat%20Q%5Cright%5D%5Crangle%5E2$ .? 這就是著名的不確定性原理 (說光子撞粒子的可以收拾一下爬了).? 在量子力學里,? 一維動量算符定義為? $%5Chat%20p%3D-i%5Chbar%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D$ ,? 那么有 x?p? = -i?x d/dx?和 p?x? =?-i??- i?x d/dx,? 于是 [x?,p?] = -i?,? 得到位置與動量的不確定性關系:? 4Δx2Δp2?≥??2,? 即是 mΔxΔv?≥??/2,? 就是被科普到爛的 "位置和速度不能同時確定的測不準原理".? 另外,? 使用更具意義的加窗傅里葉變換也可以得到不確定性原理,? 粗略過程可以參考我?guī)啄昵鞍l(fā)的專欄 (不是廣義).

如果兩算符 O? 和 Q? 滿足 [O?,Q?] = 0,? 那么則稱這兩個算符為對易算符,? 并且這時兩算符之間的誤差可以取到0,? 即兩算符對應的可觀察量可以完全確定,? 所以相容可觀察量的算符是對易的.? 對于任意一個有 α 自由度的體系來說,? 必有 α 個互不相關的相容可觀察量,? 如果有一組相容可觀察量可以完全確定體系的狀態(tài),? 那么這組量被稱為力學量的完全集合.? 完全集合中每個可觀察量的特征函數(shù)可以互相組成一組標準正交基,? 那么任意波函數(shù)都可以按照這組基進行分解.? 一般地,? 任意對易算符擁有同一組特征函數(shù),? 而任意擁有同一組特征函數(shù)的算符是對易的.

比如說對于3維空間的自由粒子,? 力學量的完全集合可以是 3個位置坐標或 3個動量分量,? 當完全確定粒子的3個坐標(或動量)后,? 粒子的狀態(tài)將完全確定.? 特別地,? 因為限制在1維空間里的單個粒子最多只能擁有1個自由度,? 所以在1維里只討論能量就足以確定粒子的狀態(tài).? 在氫原子里,? 哈密頓算符 H? (表征能量)確定定態(tài)波函數(shù) ψ?,?,? 里的下標 n,? 不難證明 (連氫原子都解出來了, 還有什么難的) 下標 l 由角動量平方算符 L?2 確定,? 下標 m 由角動量z分量算符 L?z (unicode沒有下標z我有什么辦法) 確定,? 并且?H??有特征值 E?,??L?2 有特征值 l(l+1)?2 和?L?z 有特征值 m?.

可觀察量的演化和守恒定律

任意可觀察量的期望值為? $%5Clangle%20O%5Crangle%3D(%5CPsi%2C%5Chat%20O%5CPsi)%3D%5Cint_D%5CPsi%5E*(%5Cvec%20r%3Bt)%5Chat%20O%5CPsi(%5Cvec%20r%3Bt)%20d%5Ctau$ ,? 那么期望值的隨時間變化的量為? $%5Cfrac%7Bd%5Clangle%20O%5Crangle%7D%7Bdt%7D%3D%5Cint_D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5CPsi%5E*%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5Chat%20O%5CPsi%20d%5Ctau%2B%5Cint_D%5CPsi%5E*%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Chat%20O%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5CPsi%20d%5Ctau%2B%5Cint_D%5CPsi%5E*%5Chat%20O%5Cfrac%7B%5Cpartial%5CPsi%7D%7B%5Cpartial%20t%7Dd%5Ctau$ ,? 一般情況下可觀察量不會隨著時間改變意義,? 即 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Chat%20O%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3D0$ .? 根據(jù)薛定諤方程? $%5Chat%20H%5CPsi%3Di%5Chbar%5Cfrac%7B%5Cpartial%5CPsi%7D%7B%5Cpartial%20t%7D$ ,? 得到??Ψ/?t =??Ψ / i? 和??Ψ*/?t = -(?Ψ)* /?i?,? 于是期望值隨時間變化的量為? $%5Cfrac%7Bd%5Clangle%20O%5Crangle%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5Chbar%7D%5Cleft(%5Cint_D%5CPsi%5E*%5Chat%20O%5Chat%20H%5CPsi%20d%5Ctau-%5Cint_D%5Cleft(%5Chat%20H%5CPsi%5Cright)%5E*%5Chat%20O%5CPsi%20d%5Ctau%5Cright)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5Chbar%7D%5Cleft(%5Cleft(%5CPsi%2C%5Chat%20O%5Chat%20H%5CPsi%5Cright)-%5Cleft(%5Chat%20H%5CPsi%2C%5Chat%20O%5CPsi%5Cright)%5Cright)$

略,? 如此得到? $%5Cfrac%7Bd%5Clangle%20O%5Crangle%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5Chbar%7D%5Clangle%5Cleft%5B%5Chat%20O%2C%5Chat%20H%5Cright%5D%5Crangle$ .

在自由粒子里,? 動量算符 p? 與哈密頓算符 H? 對易,? 所以有 d?p?/dt = 0,? 這就是在量子力學里的動量守恒定律 (更準確來說, 整個動量概率 |p|2 是不變,? 可以由傅里葉變換證得).? 粒子受中心力場影響時,? 角動量平方算符?L?2 和角動量分量算符?L?x,?L?y,?L?z 都與?H? 對易,? 如此得到量子力學里的角動量守恒定律.? 如果勢場不顯含時間,? 即??U/?t = 0,? 也就是??H?/?t = 0,? 并且有 [H?,H?] = 0,? 那么得到 d?H?/dt = 0,? 這就是量子力學里的能量守恒定律.

空間反演算符(又稱宇稱算符)? $%5Chat%20P%5CPsi(%5Cvec%20r%3Bt)%3D%5CPsi(-%5Cvec%20r%3Bt)$ ,? 有 P?2?的特征值為?1,? 那么 P? 的特征值為?±1,? 當?P?Ψ =?Ψ 時稱為偶宇稱,? 當?P?Ψ?= -Ψ 時稱為奇宇稱.? 把宇稱算符作用在能量上有? $%5Chat%20P%5Chat%20H(%5Cvec%20r)%5CPsi(%5Cvec%20r%3Bt)%3D%5Chat%20H(-%5Cvec%20r)%5Chat%20P%5CPsi(x%3Bt)$ ,? 設哈密頓算符是偶宇稱的,? 即 H?(-r) = H?(r),? 得到關系式 P?H??= H?P?,? 這就是量子力學的宇稱守恒定律 (說宇稱破缺的可以收拾一下了, 宇稱破缺是只在弱核力里發(fā)生的,? 也就是弱核力對應的哈密頓算符不是偶宇稱的,? 當然也不是奇宇稱的).

在量子力學里總是由一個不可觀察量的對稱性導致一個可觀察量的守恒:? 空間平移對稱導致動量守恒,? 空間旋轉對稱導致角動量守恒,? 空間反演對稱導致宇稱守恒,? 時間平移對稱導致能量守恒.

最后的最后,? 可以稍微來說一下概率輻為什么要用復數(shù)表示,? 即相位是什么.

對于熟悉波動光學或者傅里葉變換的人來說,? 一定多少了解到多個波函數(shù)組合在一起時,? 相對相位確定了組合后的形狀,? 全局相位確定了絕對位置.

但如果不熟悉這兩個,? 或者沒有了解到這個事實,? 可以對以下函數(shù)的圖像進行觀察理解,? 其中 a 是全局相位,? b 是相對相位.

在任意一個標準正交完備系里也有相似的現(xiàn)象,? 所以概率輻是一個巧妙地把經(jīng)典概率與波相位性質結合在一起的數(shù)字.

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