牛頓421、現(xiàn)在看到的教科書，已經(jīng)遠遠偏離了微積分最初的樣子

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微積分體系幾百年前就建立起來了，為什么我們現(xiàn)在學習它仍存在困難？——網(wǎng)友提問

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

…積、分、積分：見《牛頓337~405》…

…微積分：見《牛頓407》…

…體、系、體系：見《歐幾里得27》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…學、習、學習：見《牛頓160》…

…

Hsin（發(fā)布于2020-12-19 17:20，970 人贊同了該回答）：

因為我們現(xiàn)在看到的教科書，已經(jīng)遠遠偏離了微積分最初的樣子。

微積分不是在幾百年前“唰”的一下就完備地出現(xiàn)在所有人面前，而是在出現(xiàn)后的幾百年里修修補補，才變成了今天的這套體系。

…體、系、體系：見《歐幾里得27》…

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從歷史上看，它是一個實踐先于理論的過程。

…歷、史、歷史：見《歐幾里得111》…

…實、踐、實踐：見《歐幾里得11》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

…過、程、過程：見《歐幾里得194》…

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早期的微積分，對底層邏輯的要求非常寬松，“微積分的先驅們多半依靠直覺而不是根據(jù)推理進行計算”（摘自《微積分的歷程》）。

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

…直、覺、直覺：見《伽利略60》…

（…《伽利略》：小說名…）

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…根、據(jù)、根據(jù)：見《歐幾里得115》…

…推、理、推理：見《歐幾里得12》…

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

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比如說，在牛頓和萊布尼茨（cí）創(chuàng)建微積分的時候，使用的證明方法都還是幾何直覺與代數(shù)技巧相混雜的大雜燴，而且都埋伏著致命的邏輯漏洞。

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…代、數(shù)、代數(shù)：見《歐幾里得36》…

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最致命的一點就是「無窮小」的概念：一個既等于0、又不等于0的幽靈。

…無、窮、無窮，小，無窮小：見《牛頓280》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

在牛頓的“流數(shù)術”中，當需要除以一個無窮小量的時候，它（無窮小量）被看作了一個非0量，而在需要舍去一個多項式后面含無窮小量的分量的時候，無窮小量又會被當作0而消去。

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{牛頓對導數(shù)的定義為：

…導、數(shù)、導數(shù)：見《牛頓288~294》…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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當x增長為x+h時，x的立方（記為x^3）成為x+h的立方[記為（x+h）^3）]，

即x+h的立方結果為x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3。

…^：乘方…

…x^3：x的3次方…

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x與x^3的增量分別為h和3x^2 h+3x h^2+h^3。

x^3的增量除以x^3的增量的結果為3x^2+3x h+h^2，然后代入h=0讓增量消失，則它們的最后結果為3x^2。

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[上述文字符號化：

…符、號、符號：見《歐幾里得160、161》…

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∵?x→x+h （h≠0）

∴ x^3→（x+h）^3

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又（x+h）^3=x^3+3x^2 h+3x h^2+h^3

∴ x的增量△x為h；

（x+h）^3的增量△y為3x^2 h+3x h^2+h^3。

?…△：讀音是“德爾塔”。音標為/delt?/。

在物理學中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

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△y/△x=（3x^2 h+3x h^2+h^3）/h=3x^2+3x h+h^2

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令h=0，得△y/△x=3x^2+3x·0+0^2=3x^2]

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我們知道3x^2這個結果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設h?不為0，而在論證的后一部分又被取為0。

——《牛頓411》}

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萊布尼茨（cí）也有同樣的問題，一個極小的長度 ，被看作了一個無限小的、不可能再分的長度。

…無、限、無限：見《牛頓202》…

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但這樣說顯然只是一個邏輯上的權宜之計，并不能強有力地說服人。

…權宜之計：

權：暫時。

宜：適宜。

指為了應付某種情況而暫時采取的變通辦法…

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關于……無限小，我們理解為……某種無限的小，所以每次分割本身都成為一個級別，只不過不是一個最后的級別。

如果有誰希望將這些[無限小]理解為最終的事物……，那么，這也是可以的，而且也不會陷入關于延伸范圍、或者一般而論的無限連續(xù)統(tǒng)、或者無限小的真實性的爭論中，即使他認為這樣的事是完全不可能的。
——萊布尼茨

…范、圍、范圍：見《歐幾里得39》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…真、實、真實：見《歐幾里得57》…

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在歷史上這樣的邏輯漏洞甚至牽扯到了宗教信仰，并招來猛烈的批評（天主教學校是有數(shù)學這門課的，主教們都是數(shù)學上的一把好手）。

…數(shù)、學、數(shù)學：見《歐幾里得49》…

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這些流數(shù)到底是什么？

逐漸消失的增量的速度有多么大？

這些相同的逐漸消失的增量是什么？

他們既不是有限的量，也不是無窮小的量，更不是0。

難道我們不能把它們稱為消逝的量的鬼魂嗎？
錯誤也許能產(chǎn)生真理，但是決不會產(chǎn)生科學。
——貝克萊主教

…錯、誤、錯誤：見《歐幾里得193》…

…真、理、真理：見《歐幾里得43》…

…科、學、科學：見《歐幾里得4》…

這樣的質疑其實是有道理的，實踐已經(jīng)證明了早期的微積分確實是求切線和確定極大值或極小值的極好工具。

…切、線、切線：見《牛頓288》…

…工、具、工具：見《歐幾里得161、162》…

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但是如果一個正確的答案來自于錯誤的思想，反而會掩蓋其中隱藏的漏洞。

…正、確、正確：見《歐幾里得13》…

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…

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就像在某種錯誤補償中、某些錯誤抵消其它錯誤（驚，18世紀的控制論思想）。

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“早期的微積分將無窮小看作是一個靜止的常量，卻用動態(tài)的手段去使用它，因而留下了致命的邏輯漏洞；而柯西重建的微積分直接用一個動態(tài)的定義作為所有概念的思想基礎，從而給出了一個嚴密的微積分理論體系。

請看下集《牛頓422、早期微積分將無窮小看作一個靜止常量，卻用動態(tài)手段去使用它》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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