復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)每周一題[2021A13]參考解答

2021-12-16 20:22 作者:CharlesMa0606 0人讀過 | 我要投稿

本文是本人給出的2021年復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)的每周一題[問題2021A13]的解答

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在他的博客提供的每周一題練習(xí)

（鏈接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文僅供學(xué)習(xí)交流，如有錯(cuò)誤懇請指正！

[問題2021A13]設(shè)V,U分別是數(shù)域K上的n,m維線性空間, $%5Cvarphi%3AV%5Crightarrow%20U$ 是線性映射.證明:

(1)存在K上的線性空間W，滿線性映射 $%5Cxi%3AV%5Crightarrow%20W$ ,以及單線性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di%5Ccirc%5Cxi$ ;

(2)若另外存在K上的線性空間 $W_1$ ，滿線性映射 $%5Cxi_1%3AV%5Crightarrow%20W_1$ ，以及單線性映射 $i_1%3AW_1%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di_1%5Ccirc%5Cxi_1$ ，則存在線性同構(gòu) $%5Ceta%3AW%5Crightarrow%20W_1$ ，使得 $%5Cxi_1%3D%5Ceta%5Ccirc%5Cxi%2Ci%3Di_1%5Ccirc%5Ceta$ .

證明(1)設(shè) $dimIm%5Cvarphi%3Dr$ ,任取一個(gè)K上線性空間W，取 $Ker%5Cvarphi$ 的一組基 $%5C%7Be_%7Br%2B1%7D%2C%5Ccdots%2Ce_n%5C%7D$ ，擴(kuò)張為V基 $%5C%7Be_1%2C%5Ccdots%2Ce_n%5C%7D$ ,取U的一組基 $%5C%7Bf_1%2C%5Ccdots%2Cf_m%5C%7D$ .注意到要找單線性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，于是應(yīng)當(dāng)有 $dimW%3DdimIm%5Cvarphi%3Dr$ ，W存在性仍然不言而喻.取W基 $%5C%7Bg_1%2C%5Ccdots%2Cg_r%5C%7D$ .定義滿線性映射 $%5Cxi%3AV%5Crightarrow%20W$ ，使得: $%5Cxi%5Cleft(e_i%5Cright)%3Dg_i%2C%5Cxi%5Cleft(e_j%5Cright)%3D0%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r%2Cr%2B1%5Cle%20j%5Cle%20n$ ，這是一個(gè)定義好的滿線性映射.再定義單線性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得: $i%5Cleft(g_k%5Cright)%3D%5Cvarphi%5Cleft(e_k%5Cright)%2C1%5Cle%20k%5Cle%20r$ ，注意到 $%5Cvarphi%5Cleft(e_k%5Cright)%2C1%5Cle%20k%5Cle%20r$ 是 $Im%5Cvarphi$ 的一組基，于是i是定義好的單線性映射.容易驗(yàn)證， $i%5Ccirc%5Cxi%5Cleft(e_i%5Cright)%3Di%5Cleft(g_i%5Cright)%3D%5Cvarphi%5Cleft(e_i%5Cright)%2Ci%5Ccirc%5Cxi%5Cleft(e_j%5Cright)%3D0%3D%5Cvarphi%5Cleft(e_j%5Cright)%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r%2Cr%2B1%5Cle%20j%5Cle%20n$ ，于是我們就找到了K上的線性空間W，滿線性映射 $%5Cxi%3AV%5Crightarrow%20W$ ,以及單線性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di%5Ccirc%5Cxi$ .

(2)若另外存在K上的線性空間 $W_1$ ，滿線性映射 $%5Cxi_1%3AV%5Crightarrow%20W_1$ ，以及單線性映射 $i_1%3AW_1%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di_1%5Ccirc%5Cxi_1$ ，則 $dimW_1%3DdimW%3Dr$ ，取 $W_1$ 基 $%5C%7Bh_1%2C%5Ccdots%2Ch_r%5C%7D$ ，其中 $h_i%3D%5Cxi_1%5Cleft(e_i%5Cright)%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r$ ,直接定義線性映射 $%5Ceta%3AW%5Crightarrow%20W_1$ ,滿足 $%5Ceta%5Cleft(g_i%5Cright)%3Dh_i%3D%5Cxi_1%5Cleft(e_i%5Cright)%2C%5Ceta%5Cleft(g_j%5Cright)%3D0%3D%5Cxi_1%5Cleft(e_j%5Cright)%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r%2Cr%2B1%5Cle%20j%5Cle%20n$ ，于是容易驗(yàn)證 $%5Cxi_1%3D%5Ceta%5Ccirc%5Cxi%2Ci%3Di_1%5Ccirc%5Ceta$ ,并且 $%5Ceta$ 是線性同構(gòu).