引言

先說(shuō)一下做這個(gè)專(zhuān)欄文章的緣由。

簡(jiǎn)單翻了翻，查了查，在網(wǎng)上，到目前為止，我就沒(méi)見(jiàn)到哪篇中文的文字，實(shí)實(shí)在在地把這事給完全說(shuō)清楚了的。

那些聽(tīng)風(fēng)就是雨，自以為是，剛見(jiàn)著個(gè)新詞就拿著到處危言聳聽(tīng)的……還是不說(shuō)了。

還有一些試圖給出這個(gè)定理的嚴(yán)格證明的，基本上就是某本教材或某篇論文上的搬運(yùn)工兼翻譯機(jī)，雖然說(shuō)確實(shí)是嚴(yán)格證明了，但也僅此而已。在原證明或論文中，那些作者認(rèn)為連“顯然”、“易得”都不用寫(xiě)出來(lái)，但對(duì)理解證明很重要的一些思考過(guò)程，在這些中文的文字里，也一并省略了。當(dāng)然也有將這些證明時(shí)的思路說(shuō)出來(lái)的，但你反復(fù)讀幾遍后，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多東西還是得靠自己悟。

事實(shí)上，在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書(shū)里的情況也差不多是這樣。初級(jí)乃至中級(jí)的微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書(shū)里，只會(huì)簡(jiǎn)單地提及，自然也就沒(méi)有證明；高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書(shū)當(dāng)然給了，但怎么寫(xiě)省事兒怎么寫(xiě)，至于說(shuō)，這一步怎么就到那一步了，這么簡(jiǎn)單幾步怎么就得到結(jié)論了，這些問(wèn)題的說(shuō)明就全靠上課老師，甚至學(xué)生自己的悟性了，反正對(duì)肯定是對(duì)的，你把它背下來(lái)再抄一遍肯定也是沒(méi)問(wèn)題的。

但對(duì)于相關(guān)的愛(ài)好者們來(lái)說(shuō)，他們上哪找老師？上哪找慧根？因而，這些內(nèi)容主要是為他們做的。首先說(shuō)清楚，這里對(duì)觀眾知識(shí)的要求大約是高中數(shù)學(xué)水平。準(zhǔn)確地說(shuō)，你只要知道集合是什么，知道集合的交并補(bǔ)運(yùn)算是在干什么，知道映射是什么，能理解n維空間和多元函數(shù)的存在，就夠了。另外，在這里為了方便，映射很多時(shí)候就直接說(shuō)成函數(shù)了，高中的讀者還請(qǐng)注意這倆概念的區(qū)別。當(dāng)然了，如果你對(duì)于集合論有更深入了解的話，可能會(huì)更加容易跟緊證明的思路，但對(duì)在此之上的預(yù)備知識(shí)是沒(méi)有要求的。

再來(lái)粗略說(shuō)明一下阿羅不可能定理的相關(guān)內(nèi)容。

阿羅不可能定理大致說(shuō)的是，關(guān)于一個(gè)社會(huì)偏好（解釋見(jiàn)后文），不可能同時(shí)滿足6種性質(zhì)。當(dāng)然證明時(shí)一般只著重討論4個(gè)，另外2個(gè)算作暗含條件。

注意，定理說(shuō)的只是這6種性質(zhì)不能同時(shí)滿足。事實(shí)上，拋棄掉任意一種性質(zhì)后，其他5種性質(zhì)都是可以共存的（太懶，不證明不舉例了）。所以很多對(duì)阿羅不可能定理的普及性介紹都不能直接拿來(lái)進(jìn)行深入思考的，因?yàn)樗鼈兛赡苓B這6個(gè)性質(zhì)都沒(méi)給全。

此外，很多普及性的介紹經(jīng)常采用舉例子的方式說(shuō)明阿羅不可能定理。這個(gè)的好處就是便于深入思考，但壞處就是具體例子性質(zhì)太多，容易讓人迷失其中，找不到問(wèn)題的關(guān)鍵所在。比如經(jīng)常被拿來(lái)舉例的康多塞悖論（詳情可以自己百度），它是阿羅不可能定理的一種特殊情形，阿羅不可能定理可以解釋它，但不是它在投票人數(shù)大于3時(shí)的簡(jiǎn)單推論。定理的很多其他重要方面，單看這個(gè)例子是看不到的。

另外，雖然嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，證明這個(gè)定理時(shí)，是要肯定其中任意（而不是特定）5個(gè)性質(zhì)，從而得出剩下的那個(gè)性質(zhì)必然不存在的，但實(shí)際證明過(guò)程中，剩下的那個(gè)等著被否定的性質(zhì)，都是選的“不存在獨(dú)裁（解釋見(jiàn)后文）”這個(gè)性質(zhì)，其他情況都不證的。而上面提到的康多塞悖論，最后否定的是“社會(huì)偏好理性”這個(gè)性質(zhì)，這與一般的定理證明過(guò)程不同。為效率起見(jiàn)（就是懶），這里的“嚴(yán)格證明及詳細(xì)說(shuō)明”也只考慮否定“不存在獨(dú)裁”這一情況。

最后說(shuō)一下關(guān)于證明的選擇。

時(shí)至今日，阿羅不可能定理的嚴(yán)格證明當(dāng)然不止一種。我目前完整見(jiàn)過(guò)的，有4種，阿羅最開(kāi)始給出的證明1、MWG微觀經(jīng)濟(jì)理論上的證明2、Jehle和Reny的高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)理論第三版上的證明3、田國(guó)強(qiáng)2003年高微講義上的證明4。當(dāng)然，還有個(gè)小論文，2004年JohnGeanakoplos寫(xiě)的，專(zhuān)門(mén)講的這個(gè)定理的三個(gè)簡(jiǎn)潔證明，其中第一個(gè)證明同證明3，另外兩個(gè)證明思路與證明3也大致相同，有興趣的可以搜一下。

正如上面所提到的，這些證明多多少少都有些不舍得說(shuō)人話。其中，阿羅的證明1當(dāng)然最好懂了，但他當(dāng)時(shí)想說(shuō)的東西很多，與其他的專(zhuān)門(mén)證明相比，這個(gè)證明就顯得相對(duì)有些零散、瑣碎；證明2和證明1證明的證明框架大致一樣，并且更加緊湊，并開(kāi)始在某些重要部分省略解說(shuō)；證明3是我目前所見(jiàn)網(wǎng)上流傳最多的版本（在最開(kāi)始假設(shè)一個(gè)投票選項(xiàng)A，然后所有人要么把它排第一，要么把它排倒數(shù)第一），簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單，但它引入了一個(gè)投票順序的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題不是很容易說(shuō)清的；證明4，在這4個(gè)證明里面內(nèi)容最少，也是最不說(shuō)人話的，給你證了三個(gè)引理后，“顯然”都懶得說(shuō)了，定理就直接給成立了，我懷疑這就是在赤果果地炫技。

所以，綜合來(lái)看，我選擇證明2作為此次證明的主要內(nèi)容，以此為基礎(chǔ)做一些必要的補(bǔ)充說(shuō)明。其他幾個(gè)……我先把這個(gè)弄出來(lái)再說(shuō)吧，說(shuō)不定這個(gè)都鴿了呢？

?

預(yù)備知識(shí)

首先是基本的一些描述和定義。

為方便起見(jiàn)，下面有些大寫(xiě)字母，既代表了集合名稱，又代表了集合元素個(gè)數(shù)。

假設(shè)你要吃早餐，而現(xiàn)在你有X種主食可供選擇（吃面包、吃米飯、吃米粉……）。你會(huì)怎么選擇呢？

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，這些東西，在你心中存在這一個(gè)排序，或者說(shuō)是偏好P（比如：吃面包優(yōu)于吃米飯優(yōu)于吃米粉），然后在一定的限制下，你會(huì)選擇最為偏好的那個(gè)主食。

事實(shí)上，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)一般認(rèn)為，如果把所有這些需要進(jìn)行選擇的東西看作一個(gè)集合X，那么你的個(gè)人偏好P，是關(guān)于這個(gè)集合的一種二元關(guān)系（選擇時(shí)，至少要有兩個(gè)元素才叫選擇，對(duì)吧？）。

如果給你x和y，你傾向于，也就是偏好于選x，則記為xPy（如：吃面包P吃米飯）。這里看起來(lái)似乎用大于等于符號(hào)更容易理解，但因?yàn)榉N種復(fù)雜原因，這里只用P來(lái)表示。

此外，經(jīng)濟(jì)學(xué)一般還假設(shè)你的偏好滿足兩個(gè)性質(zhì)：

完備性：對(duì)于任意兩個(gè)集合元素x和y（兩個(gè)元素可以相同），都有一個(gè)偏好關(guān)系，即一定有xPy或者yPx。

傳遞性：如果已經(jīng)知道xPy，以及yPz，那一定有xPz。此時(shí)你的這一偏好關(guān)系也可以寫(xiě)作xPyPz。

從上面可以看到，對(duì)于X種商品，偏好關(guān)系就像X維坐標(biāo)或向量一樣的東西，不同之處只是把括號(hào)去掉了，把逗號(hào)都換成了P。所以，對(duì)于一個(gè)人來(lái)說(shuō)，他的偏好關(guān)系類(lèi)似于X維空間里的一個(gè)元素（點(diǎn)）。

接下來(lái)，假設(shè)現(xiàn)在整個(gè)社會(huì)上有I（字母i大寫(xiě)）個(gè)人，讓他們每個(gè)人i，對(duì)X（X≥3）種備選物，給出自己的偏好Pi（i=1,2,…,I）；然后我們?cè)俑鶕?jù)所有這些偏好，試圖按照一定的規(guī)則F（P1,P2,…,PI），合成一個(gè)的關(guān)于這m種備選物的偏好P。這個(gè)偏好就叫做社會(huì)偏好。

為什么要搞一個(gè)這個(gè)社會(huì)偏好呢？因?yàn)槿藗兿胍芯?，?duì)于一個(gè)特定的社會(huì)整體來(lái)說(shuō)，哪些選擇，可以讓社會(huì)整體的福利更高。這些選擇也就是社會(huì)更偏好的選擇。而這個(gè)從所有人各自的個(gè)人偏好中合成出一個(gè)社會(huì)偏好的規(guī)則F，就叫社會(huì)福利加總器，或社會(huì)福利泛函數(shù)（后面可能多簡(jiǎn)稱為函數(shù)）。

現(xiàn)在我們關(guān)心的就是這個(gè)F的性質(zhì)。

這里先給一個(gè)具體的例子吧。不過(guò)在給出具體例子之前，先說(shuō)一下關(guān)于這個(gè)函數(shù)F的兩個(gè)暗含性質(zhì)：

1、全域定義域：F的定義域是所有有可能的個(gè)人偏好組合。當(dāng)然，所有的個(gè)人偏好都滿足完備性與傳遞性。

雖然這里不會(huì)多提，否定這個(gè)條件，比如設(shè)定所有人都是單峰偏好（詳情自行百度），是解決阿羅不可能定理所產(chǎn)生問(wèn)題的重要方向。

另外，實(shí)際的參與者集合I的元素個(gè)數(shù)是有限的。這一點(diǎn)需要特別注意。

2、社會(huì)偏好理性：對(duì)于每種個(gè)人偏好的可能組合，根據(jù)這個(gè)F形成的社會(huì)偏好，必須同時(shí)滿足完備性和傳遞性。

現(xiàn)在我們以波達(dá)計(jì)分為例簡(jiǎn)單說(shuō)明一下。

現(xiàn)在讓你給X個(gè)物品根據(jù)偏好排序。然后，你對(duì)最為偏好的東西計(jì)分為1，第二偏好的東西計(jì)分為2，以此類(lèi)推，直到最后，你最不喜歡的東西計(jì)分為X。

現(xiàn)在有I（字母i大寫(xiě)）個(gè)人，每個(gè)人都按上述方式，根據(jù)自己的偏好來(lái)進(jìn)行打分。然后，對(duì)每個(gè)物品，將所有人對(duì)它的評(píng)分加總求和，得到每個(gè)物品各自的總評(píng)分。然后按照總評(píng)分從小到大的順序排列，這個(gè)順序就是波達(dá)計(jì)分機(jī)制F下的社會(huì)偏好。

比如你對(duì)x、y、z的評(píng)分依次是2，3，1，另一個(gè)人的評(píng)分依次是3，1，2，那你們的總評(píng)分依次是5，4，3，于是你們兩個(gè)人形成的“社會(huì)偏好”是zPyPx。

現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)說(shuō)一下其他幾個(gè)性質(zhì)，這些性質(zhì)，或者說(shuō)條件，再加上上面的“隱性”條件，是我們希望F能夠同時(shí)滿足的：

3、備選物/備選方案至少有3種。

雖然感覺(jué)很多時(shí)候備選方案就倆……

4、帕累托性質(zhì)條件：對(duì)于任何一對(duì)備選方案{x,y}，如果對(duì)所有人都有xPiy，則一定有xPy。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是“全票通過(guò)”了。比如上面關(guān)于波達(dá)計(jì)分的例子，你是zPx，另一個(gè)人也是zPx，如果規(guī)則F滿足帕累托性質(zhì)，則最后的社會(huì)偏好也應(yīng)該是zPx。從這一點(diǎn)來(lái)看，波達(dá)計(jì)分是滿足了帕累托性質(zhì)條件的。

5、配對(duì)獨(dú)立性條件（不相關(guān)方案無(wú)關(guān)性條件）：對(duì)于任何一對(duì)備選方案{x,y}，以及對(duì)于任何一對(duì)滿足以下條件的個(gè)人偏好組合(P11,P12,…,P1I)和(P21,P22,…,P2I)：

對(duì)于任何i，xP1iy和xP2iy是相互等價(jià)的，yP1ix和yP2ix是相互等價(jià)的。（也就是說(shuō)，對(duì)于同一個(gè)人，x和y的相對(duì)偏好關(guān)系不變，其他的相對(duì)偏好關(guān)系可能發(fā)生變化。）

則，我們都有：

xP1y和xP2y是相互等價(jià)的，yP1x和yP2x是相互等價(jià)的。（也就是說(shuō)，在這兩種不同的個(gè)人偏好組合，它們所對(duì)應(yīng)的社會(huì)偏好里，x和y的相對(duì)偏好關(guān)系一定不會(huì)發(fā)生變化。）

這個(gè)條件是這6個(gè)條件里面最詭異、最復(fù)雜，同時(shí)也是最容易被科普省略掉的一個(gè)條件。

同樣拿上面的波達(dá)計(jì)分舉例。

在上面，你是zPy，另一個(gè)人是yPz，而最終的社會(huì)偏好是zPy（y為4分，z為3分）。

現(xiàn)在，你對(duì)x、y、z的評(píng)分依次變成了3，2，1，另一個(gè)人的評(píng)分仍然依次是2，1，3。注意，此時(shí)你是zPy，另一個(gè)人是yPz。而此時(shí)那你們的總評(píng)分依次是5，3，4，于是你們兩個(gè)人形成的“社會(huì)偏好”是yPzPx。也就是說(shuō)，在每個(gè)人對(duì)y和z的相對(duì)偏好不變時(shí)，社會(huì)偏好相對(duì)于x和y卻發(fā)生了改變。因此，波達(dá)計(jì)分不滿足配對(duì)獨(dú)立性條件（不相關(guān)方案無(wú)關(guān)性條件）。

有三個(gè)方面可以為這個(gè)條件進(jìn)行辯護(hù)。首先，在確定x和y的社會(huì)偏好關(guān)系時(shí)，其他方案的存在與否于此無(wú)關(guān)，在此無(wú)足輕重。這聽(tīng)起來(lái)確實(shí)是一個(gè)比較合理的規(guī)范性要求。其次，這便于我們處理問(wèn)題，在考慮某對(duì)備選方案的社會(huì)偏好關(guān)系時(shí)，不用再額外考慮其他的個(gè)人偏好信息。至于第三點(diǎn)，它和機(jī)制設(shè)計(jì)的激勵(lì)問(wèn)題有關(guān)，這里暫時(shí)不多談。

?6、不存在獨(dú)裁。

關(guān)于這個(gè)條件的定義是反過(guò)來(lái)的，即先通過(guò)定義獨(dú)裁，然后取這個(gè)定義的反面作為這個(gè)條件的定義（嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是取否命題，但事實(shí)上似乎沒(méi)人取過(guò)……）

獨(dú)裁：存在一個(gè)參與人h，使得對(duì)任何備選方案{x,y}和任何個(gè)人偏好組合(P1,P2,…,PI)，當(dāng)xPhy時(shí)，社會(huì)也認(rèn)為x比y好，即xPy。

于是，阿羅不可能定理的正式表述就出來(lái)了：

阿羅不可能定理：假設(shè)至少有3個(gè)備選方案，個(gè)人組合的定義域?yàn)槿?。那么每個(gè)滿足帕累托性質(zhì)和配對(duì)獨(dú)立性條件的社會(huì)福利泛函數(shù)F是獨(dú)裁的。

下面是正式開(kāi)始證明。

證明

MWG的證明，引進(jìn)了3個(gè)新定義，總共分了10步，但說(shuō)得還是不夠清楚。這問(wèn)題的來(lái)源嘛，一是對(duì)配對(duì)獨(dú)立性條件的應(yīng)用說(shuō)的比較含糊，說(shuō)清楚了的話，可以一口氣看到第4步；二是對(duì)新定義的解釋不足，還容易讓人誤解，這一點(diǎn)也給看清楚了的話，可以一口氣直接看到第8步；三是對(duì)第9步的解釋不足，當(dāng)然這主要還是因?yàn)榍皟牲c(diǎn)，但第9步的證明可以說(shuō)是整個(gè)證明過(guò)程中最為關(guān)鍵的一步，一旦理解清楚了的話，會(huì)感覺(jué)整個(gè)證明過(guò)程都非常明了清晰了。

再次說(shuō)明一下，從現(xiàn)在起，為方便起見(jiàn)，將I不僅視為參與人的數(shù)量，也視為參與人集合。對(duì)于整個(gè)證明，我們使用一個(gè)滿足帕累托性質(zhì)和配對(duì)獨(dú)立性條件的固定社會(huì)福利泛函數(shù)F。我們先給出一些定義。注意，在下面，當(dāng)我們說(shuō)配對(duì)方案時(shí)，指得是不同的方案組合。

先是新定義：

給定F，對(duì)于參與人集合I的一個(gè)子集S，

（i）如果當(dāng)S中的每個(gè)人認(rèn)為x比y好且S之外的每個(gè)人認(rèn)為y比x好，且此時(shí)社會(huì)認(rèn)為x比y好時(shí)，那么我們說(shuō)S決定了x比y好。

（ii）如果對(duì)于任何一對(duì)備選方案{x,y}，S都決定了x比y好，那么我們說(shuō)S是決定性的。

（iii）如果當(dāng)S中的每個(gè)人認(rèn)為x比y好，且此時(shí)社會(huì)認(rèn)為x比y好，那么我們說(shuō)S完全決定了x比y好。

如果你拿上面這個(gè)定義和MWG的中文版翻譯對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)有些細(xì)微的不同。比如第一條定義，MWG的中文版翻譯說(shuō)的是，如果當(dāng)(S中的……)，導(dǎo)致（社會(huì)認(rèn)為……），……。

這里有個(gè)觀念的問(wèn)題。

事實(shí)上，在英文原版的這個(gè)定義中，是沒(méi)有“導(dǎo)致”這個(gè)概念的。換句話說(shuō)，只要此時(shí)S、S在I上的補(bǔ)集I\S以及社會(huì)偏好P三者可以同時(shí)滿足條件時(shí)，就可以說(shuō)S決定了x比y好。

事實(shí)上，在田國(guó)強(qiáng)2003年的高微英文講義里，關(guān)于這個(gè)概念，同樣用到了“導(dǎo)致”，準(zhǔn)確地說(shuō)是“推出（單箭頭）”這個(gè)說(shuō)法，不知道是不是一種思想上的巧合。實(shí)際上這樣處理是有一定好處的，它強(qiáng)調(diào)了是F的存在產(chǎn)生了這種性質(zhì)，便于理解定義與F的聯(lián)系。但它的問(wèn)題也在于，它預(yù)設(shè)了一種關(guān)系的存在，但這種關(guān)系對(duì)證明過(guò)程而言并不是必要的。

再回到第一個(gè)定義。這個(gè)定義是什么意思呢？

首先我們要明確的一點(diǎn)是，要將參與人集合與F的定義域——個(gè)人偏好組合(P1,P2,…,PI)的集合，分別開(kāi)來(lái)。這一點(diǎn)非常重要，因?yàn)楹芏嗳藭?huì)無(wú)意中將S當(dāng)作一種個(gè)人偏好組合的集合，而且自己還沒(méi)發(fā)現(xiàn)。

舉個(gè)例子，給定參與人集合I和子集S，如果從S中和I\S中各取一個(gè)參與人，且這兩個(gè)人的個(gè)人偏好不同，現(xiàn)在將兩個(gè)人的偏好互換，再將兩人放回原來(lái)的集合，社會(huì)偏好會(huì)不會(huì)發(fā)生改變呢？

如果你覺(jué)得，因?yàn)镕的定義域中的個(gè)人偏好組合還是那幾個(gè)，沒(méi)有發(fā)生改變，因此社會(huì)偏好一定也沒(méi)有改變，那你實(shí)際上已經(jīng)預(yù)設(shè)了一個(gè)關(guān)于F的新性質(zhì)——中立性。這是多數(shù)投票中的常見(jiàn)的一個(gè)性質(zhì)，此時(shí)每個(gè)人的投票權(quán)重是一樣的。但在這個(gè)定理的證明中，沒(méi)有對(duì)這個(gè)性質(zhì)有所設(shè)定，因此將參與人和偏好組合區(qū)別開(kāi)來(lái)是必要的。當(dāng)然，至于說(shuō)這種區(qū)分是否有意義，這當(dāng)然是說(shuō)不定的，因?yàn)橹辛⑿钥赡艽嬖谟锌赡懿淮嬖凇?/p>

第二點(diǎn)需要說(shuō)明的是，雖然這個(gè)中文定義的時(shí)態(tài)用的過(guò)去時(shí)，但“S決定了x比y好”并不一定是一個(gè)既定事實(shí)。英文原文用的一般現(xiàn)在時(shí)，而且理所當(dāng)然這是個(gè)條件句。換句話說(shuō)，這個(gè)定義的意思是說(shuō)，如果此時(shí)，關(guān)于{x,y}，S的所有人偏好如此，同時(shí)S外的所有人偏好也如此，根據(jù)全域定義域的條件，此時(shí)一定有一個(gè)社會(huì)偏好P與之對(duì)應(yīng)，而要是社會(huì)偏好P此時(shí)也和S中的所有人偏好一致，則有“S決定了x比y好”。至于S中的參與者實(shí)際上是不是都是同一種偏好，這個(gè)定義是不考慮的。它只是F在可能的定義域上的一條性質(zhì)，它并不是對(duì)應(yīng)的一個(gè)實(shí)際的、具體的定義域。

對(duì)第二條與第三條的定義理解也是如此。

為了防止還有誰(shuí)沒(méi)聽(tīng)懂，我在這里新加一個(gè)“第0步”作為引理來(lái)幫助理解。

第0步：

對(duì)于任何參與者集合I的子集S，以及任何一對(duì)備選方案{x,y}，我們有：要么S，要么S的補(bǔ)I\S，是決定了x比y好，或者y比x好的。

證明：

不妨先假設(shè)此時(shí)S中的每個(gè)人認(rèn)為x比y好，且S之外的每個(gè)人認(rèn)為y比x好。根據(jù)社會(huì)偏好理性的條件，P是滿足完備性的，即一定有xPy或yPx。如果是xPy，則是S決定了x比y好；如果是yPx，則是I\S決定了y比x好。

S與補(bǔ)集互換偏好的情況就不證了，同理。

證畢。

再考慮一個(gè)問(wèn)題，全集I是決定性的嗎？答案是，它當(dāng)然是的。這就等價(jià)于在說(shuō)F的帕累托性質(zhì)，也就是“全票通過(guò)”的那個(gè)性質(zhì)。

因此，只要對(duì)于個(gè)人偏好的假設(shè)情況成立，這三個(gè)定義就可以成立，而不用管實(shí)際偏好如何。

好了，到此為止，對(duì)新引入定義的說(shuō)明就完成了。

另外，在第8步的說(shuō)明里，有對(duì)整個(gè)證明過(guò)程的梳理，讀者可以選擇先看完第8步的說(shuō)明后，再回過(guò)頭來(lái)從第1步的證明開(kāi)始看起。

現(xiàn)在正式開(kāi)始對(duì)定理的證明。

第1步：

如果對(duì)于某個(gè){x,y}，S決定了x比y好，那么對(duì)于任何備選方案z≠x，S決定了x比z好。類(lèi)似地，對(duì)于任何z≠y，S決定了z比y好。

證明：

我們僅證明如果S決定了x比y好，那么S決定了x比z≠x好。另一部分的證明是類(lèi)似的。

如果z=y，我們就不用證明了。因此，我們假設(shè)z≠y。

考慮一個(gè)偏好組合(P1,P2,…,PI)，其中

xPiyPiz，對(duì)于每個(gè)i∈S

和

yPizPix，對(duì)于每個(gè)i∈I\S。

于是，由于S決定了x比y好，所以社會(huì)認(rèn)為x比y好，也就是說(shuō)，xPy。另外，由yPiz對(duì)于每個(gè)i∈I成立以及F滿足帕累托性質(zhì)可知，yPz。

根據(jù)配對(duì)獨(dú)立性條件可知，當(dāng)S中的每個(gè)參與人認(rèn)為x比z好而且S之外的每個(gè)參與人認(rèn)為z比x好時(shí)，同時(shí)社會(huì)也認(rèn)為x比z好。因此，S決定了x比z好。

證畢。

說(shuō)明：

MWG的這個(gè)證明最大的問(wèn)題就在于，對(duì)于配對(duì)獨(dú)立性條件在證明過(guò)程的運(yùn)用解釋得非常之少。第一眼望過(guò)去，你甚至有可能連“配對(duì)獨(dú)立性”這幾個(gè)字都沒(méi)找到（當(dāng)然我在這里加粗了，你肯定還是看到了）?？赡苡腥诉€會(huì)說(shuō)：這不是就證明了這一個(gè)特殊情況嘛，作為分情況討論，其他情況不都還沒(méi)討論的嘛？現(xiàn)在我來(lái)解釋一下這個(gè)條件是怎么用的。

首先，在此之前，我們已經(jīng)得到了xPy和yPz，根據(jù)傳遞性可知，此時(shí)有xPz。而且此時(shí)，根據(jù)假設(shè)，S中的每個(gè)參與人認(rèn)為x比z好而且S之外的每個(gè)參與人認(rèn)為z比x好。根據(jù)配對(duì)獨(dú)立性條件，y在每個(gè)個(gè)人偏好中的位置，與社會(huì)偏好對(duì)x和z的排序無(wú)關(guān)。因此，只要S中的每個(gè)參與人還是認(rèn)為x比z好而且S之外的每個(gè)參與人還是認(rèn)為z比x好，無(wú)論y怎么樣，一定依然有社會(huì)偏好xPz。于是以上條件滿足了“S決定了x比z好”的定義。

證畢。

從上面可以看出，配對(duì)獨(dú)立性條件就是用來(lái)補(bǔ)充對(duì)其他情況的討論的。由于有了這個(gè)條件，我們只要先假設(shè)一個(gè)特例，并以此得出社會(huì)偏好的結(jié)論，然后通過(guò)運(yùn)用這個(gè)條件，自動(dòng)完成對(duì)其他所有情況的討論與證明。可以說(shuō)，這是個(gè)在證明過(guò)程中運(yùn)用非常便利的條件。

之后步驟中，配對(duì)獨(dú)立性條件的運(yùn)用也都大致是這種類(lèi)型，就不再多贅述了。

第2步：

如果對(duì)于某個(gè){x,y}，S決定了x比y好，z是第三個(gè)備選方案，那么當(dāng)w是不同于z的任何備選方案時(shí)，S決定了z比w好以及決定了w比z好。

證明：

根據(jù)第1步，S決定了x比y好以及決定了z比y好。但是這樣一來(lái)，如果我們?cè)俅问褂玫?步，只不過(guò)這次運(yùn)用在{x,z}和w上，可知：S決定了w比z好。類(lèi)似地，將第1步運(yùn)用在{z,y}和w上，可知：S決定了z比w好。

證畢。

第3步：

如果對(duì)于某個(gè){x,y}，S決定了x比y好，那么S是決定性的。

證明：

這個(gè)結(jié)論可由第2步以及存在某個(gè)不同于x和y的備選方案z這個(gè)事實(shí)直接推出。事實(shí)上，取任何{v,w}。如果v=z或w=z，那么第2步直接蘊(yùn)含著第3步的結(jié)論。如果v≠z且w≠z，我們可以運(yùn)用第2步從而斷言S決定了z比w好，然后使用第1步[運(yùn)用在{z,w}上]斷言S決定了v比w好。

證畢。

說(shuō)明：

到此為止，關(guān)于“S決定了x比y好”的性質(zhì)就說(shuō)得差不多了。之后的命題中，都是直接假設(shè)某個(gè)集合是“決定性的”，而不再是先假設(shè)某個(gè)集合“決定了x比y好”了。但是對(duì)于配對(duì)獨(dú)立性條件的運(yùn)用還是一如既往的。

第4步：

如果S和T是決定性的，那么S∩T是決定性的。

證明：

任取三個(gè)不同的備選方案{x,y,z}，考慮偏好組合(P1,P2,…,PI)，其中

zPiyPix，對(duì)于每個(gè)i∈S\(S∩T)，

xPizPiy，對(duì)于每個(gè)i∈S∩T，

yPixPiz，對(duì)于每個(gè)i∈T\(S∩T)，

yPizPix，對(duì)于每個(gè)i∈I\(S∪T).

于是zPy，這是因?yàn)镾（=[S\(S∩T)]∪(S∩T)）是個(gè)決定集。類(lèi)似地，xPz，因?yàn)門(mén)是個(gè)決定集。因此，根據(jù)社會(huì)偏好的傳遞性可知，xPy。由配對(duì)獨(dú)立性條件可知，S∩T決定了x比y好，從而根據(jù)第3步可知，S∩T是個(gè)決定集。

證畢。

第5步：

對(duì)于任何S，我們有：要么S要么S的補(bǔ)I\S是決定性的。

證明：

任取三個(gè)不同的備選方案{x,y,z}，考慮偏好組合(P1,P2,…,PI)，其中

xPizPiy，對(duì)于每個(gè)i∈S，

yPixPiz，對(duì)于每個(gè)i∈I\S.

于是存在兩種可能性：一是xPy，在這種情形下，根據(jù)配對(duì)獨(dú)立性條件可知，S決定了x比y好（因此，根據(jù)第3步，S是決定性的）；二是yPx，因?yàn)椋鶕?jù)帕累托性質(zhì)條件，我們有xPz，在這種情形下，社會(huì)偏好關(guān)系產(chǎn)生了yPz。而這樣一來(lái)，再次使用配對(duì)獨(dú)立性條件，我們斷言I\S決定了y比z好（因此，根據(jù)第3步可知，I\S是決定性的）。

證畢。

說(shuō)明：

實(shí)際上，第0步的證明就是第5步這個(gè)證明的劣化版……

第6步：

如果S是決定性的而且S是T的子集，那么T也是決定性的。

證明：

根據(jù)帕累托性質(zhì)條件可知，如果參與人集合是空集，那么它不可能是決定性的（的確，如果沒(méi)有人認(rèn)為x比y好并且每個(gè)人認(rèn)為y比x好，那么社會(huì)不會(huì)認(rèn)為x比y好）。因此，I\T不可能是決定性的，因?yàn)槿缛舨蝗?，根?jù)第4步可知，S∩(I\T)=空集將是決定性的。因此，由第5步可知，T是決定性的。

證畢。

第7步：

如果S是決定性的而且它含有不止一個(gè)參與人，那么S存在一個(gè)嚴(yán)格子集S0，S0不等于S，使得S0是決定性的。

證明：

任取h∈S。如果S\{h}是決定性的，那么我們就得到了結(jié)論。因此，假設(shè)S\{h}不是決定性的。于是，根據(jù)第5步可知，I\(S\{h})=(I\S)∪{h}是決定性的。由第4步可知，{h}=S∩[(I\S)∪{h}]也是決定性的。因此，我們?cè)俅蔚玫搅私Y(jié)論，因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè)，{h}是S的一個(gè)嚴(yán)格子集。

證畢。

第8步：

存在一個(gè)h∈I使得S={h}是決定性的。

證明：

重復(fù)運(yùn)用第7步并且考慮以下兩個(gè)事實(shí)即可得到結(jié)論：一個(gè)事實(shí)是，參與人集合I是有限的；另外一個(gè)是根據(jù)帕累托性質(zhì)可知，由所有參與人組成的集合I是決定性的。

證畢。

說(shuō)明：

到此為止，我們可以看到，只要能證明，引入的新定義2只要能推出定義3，我們就能證明這整個(gè)定理了。

在走向最后關(guān)鍵的這一步之前，我再來(lái)梳理一下之前這些步驟的目的。

在第0步，我們證明了，對(duì)于任何參與者集合I，都有滿足定義1的集合S；

在第1-3步，我們證明了，滿足定義1的集合S一定滿足定義2；

在第4-8步，我們證明了，滿足定義2的集合S一定可以是單元素集合{h}。

因此，從第0步到第8步，我們證明了，對(duì)于任何參與者集合I，都有滿足定義2的參與者個(gè)體h。

于是，如果在第9步，我們能證明，滿足定義2的集合S一定滿足定義3，則這意味著，對(duì)于任何參與者集合I，對(duì)于任何一對(duì)備選方案都有滿足定義3的參與者個(gè)體h。

第9步：

如果S是決定性的，那么對(duì)于任何{x,y}，S完全決定了x比y好。

證明：

我們想證明，對(duì)于任何I\S的子集T，當(dāng)S中的每個(gè)參與人認(rèn)為x比y好，T中的每個(gè)參與人認(rèn)為x至少與y一樣好，每個(gè)其它參與人認(rèn)為y比x好，那么社會(huì)認(rèn)為x比y好。為了證明這個(gè)性質(zhì)，取一個(gè)不同于x和y的第三個(gè)備選方案z。根據(jù)配對(duì)獨(dú)立性條件可知，我們只要考慮滿足下面這樣的偏好組合(P1,P2,…,PI)即可，其中

xPizPiy，對(duì)于每個(gè)i∈S，

xPiyPiz，對(duì)于每個(gè)i∈T，

yPizPix，對(duì)于每個(gè)i∈I\(S∪T).

于是xPz，這是因?yàn)楦鶕?jù)第6步，S∪T是決定性的；另外，zPy，這是因?yàn)镾是決定性的。因此，根據(jù)社會(huì)偏好的傳遞性，我們有xPy，這正是我們想證明的。

證畢。

說(shuō)明：

其實(shí)第9步也是挺簡(jiǎn)單的一事兒，可它就是不怎么說(shuō)人話……

它的思路是這樣的：首先，雖然S是決定性的，你也不能直接假設(shè)S決定了x比y好。定義1是定義3的一個(gè)特殊情形，要是直接這么設(shè)，這證明就沒(méi)法走下去了。因此，只有先借用一個(gè)z，由S決定性從而先有zPy，再對(duì)S的補(bǔ)集進(jìn)行構(gòu)造，使得xPz，再通過(guò)P的傳遞性得到xPy。

換句話說(shuō)，你要由S決定了z比y好，再加上一些條件，才推出S完全決定了x比y好。那之后呢？你只要再由S決定了x比y好，經(jīng)過(guò)類(lèi)似的構(gòu)造條件，推出S完全決定了z比y好。如此反復(fù)，你就能得到第10步，也就是定理的最終結(jié)論。

那這些必要條件怎么構(gòu)造呢？首先，對(duì)S一定有xPiy，zPiy，對(duì)于每個(gè)i∈S。但在它的補(bǔ)集中，一定也要有人決定x比y好的集合，這樣才能滿足定義3的條件。將這部分人記為T(mén)，雖然T也可能是空集（這種情形時(shí)就能直接得到結(jié)論了），也可能就是S的補(bǔ)集（這種情形時(shí)有帕累托性質(zhì)也能直接得到結(jié)論了），我們還是假設(shè)，T是S的補(bǔ)集的非空子集。因此，一定有xPiy，對(duì)于每個(gè)i∈T。至于剩下的，自然一定有yPix，對(duì)于每個(gè)i∈I\(S∪T).。這時(shí)要注意，為了S的決定性能用上，T和I\(S∪T)中必須都是設(shè)定為yPiz的。

我們可以看到，對(duì)于這三個(gè)集合，還差一個(gè)x和z的相對(duì)偏好關(guān)系，所有的偏好就都設(shè)定好了。而根據(jù)我們的構(gòu)造，我們需要這時(shí)能出現(xiàn)一個(gè)能得到xPz的條件，從而推出最終我們想要的xPy。于是，這時(shí)我們可以考慮借用第6步的結(jié)論，取S和T的并集，構(gòu)造出一個(gè)新的決定性集合，再用它的決定性得到xPz。為了使用這個(gè)決定性條件，在x和z的偏好上，T要和S相同，I\(S∪T)要和S相反。不妨設(shè)xPiz，對(duì)于每個(gè)i∈S，則xPiz，對(duì)于每個(gè)i∈T以及zPix，對(duì)于每個(gè)i∈I\(S∪T)。

至此，所有集合內(nèi)的參與者個(gè)人偏好都設(shè)定好了，也正如證明中所設(shè)的那樣。

可能需要再次提醒的是，上述證明所有的偏好都是假設(shè)的。各個(gè)集合中的偏好并不一定就是如此。因此，使用同樣的方法，將上面的話照抄下來(lái)（當(dāng)然要把z和x的位置對(duì)調(diào)），構(gòu)造假設(shè)一套新的偏好，我們就能再由S決定了x比y好，經(jīng)過(guò)類(lèi)似的構(gòu)造條件，推出S完全決定了z比y好。之后以此類(lèi)推，我們就能知道，對(duì)于任何滿足決定性條件的S，它都能完全決定任何一對(duì)備選方案的社會(huì)偏好（就是說(shuō)S的偏好和社會(huì)偏好完全一致）。

于是，現(xiàn)在證明最后一步。

第10步：

如果對(duì)于某個(gè)h，S={h}是決定性的，那么h是個(gè)獨(dú)裁者。

證明：

如果{h}是決定性的，那么根據(jù)第9步，{h}完全決定了任何x比任何y好。也就是說(shuō)，如果偏好組合(P1,P2,…,PI)使得xPhy，那么xPy。但這正好意味著h是個(gè)獨(dú)裁者。

證畢。

至此，第8步和第10步共同完成了對(duì)阿羅不可能定理的證明。

阿羅不可能定理證畢。

?應(yīng)用：機(jī)制設(shè)計(jì)中的推論

證明完后，最后說(shuō)一下阿羅不可能定理的一個(gè)重要應(yīng)用，就是在機(jī)制設(shè)計(jì)中的一個(gè)，同樣是不可能性的推論。

注意到，我上面所說(shuō)的社會(huì)福利泛函數(shù)F，并不意味著實(shí)際操作中的投票機(jī)制。在實(shí)際操作中，投票機(jī)制是給定的，但人的行為是沒(méi)有給定的。每個(gè)人知道投票機(jī)制如何運(yùn)作，知道自己的偏好，知道其他人可能的偏好類(lèi)型（但由于信息不對(duì)稱，有可能不能完全確定下來(lái)具體是哪種偏好）。因此，每個(gè)人都很有可能通過(guò)說(shuō)謊，偽造自己的個(gè)人偏好，從而使得社會(huì)偏好變成自己真正的偏好。

用專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)的話，在實(shí)際的投票過(guò)程中，整個(gè)機(jī)制更像是一個(gè)非完全信息貝葉斯博弈。

不僅是說(shuō)謊，每個(gè)人還可能根據(jù)別人可能說(shuō)慌的事實(shí)，進(jìn)行套娃式說(shuō)謊。這個(gè)相機(jī)行動(dòng)的方案使得整個(gè)博弈結(jié)果可能會(huì)變得異常復(fù)雜。此時(shí)的機(jī)制也變成了一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)程序。

熟悉微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的人可能知道，經(jīng)濟(jì)學(xué)家只想找到博弈的均衡解。于是他們想：能不能設(shè)計(jì) 一套機(jī)制，讓說(shuō)實(shí)話成為每個(gè)人的一種優(yōu)勢(shì)策略，也就是讓所有投票參與者都自愿如實(shí)報(bào)告自己的偏好呢？

事實(shí)上，他們已經(jīng)得出了，只要投票機(jī)制，正式地說(shuō)，是只要社會(huì)選擇函數(shù)，具有一種弱偏好逆轉(zhuǎn)性質(zhì)（詳情還請(qǐng)自行查資料），社會(huì)選擇函數(shù)就可以在優(yōu)勢(shì)策略中是如實(shí)執(zhí)行的。

但這就完了嗎？

根據(jù)阿羅不可能定理，我們將會(huì)得到，如果社會(huì)選擇函數(shù)在優(yōu)勢(shì)策略中如實(shí)執(zhí)行的，并且滿足全域定義域、備選方案有限且至少3個(gè)，等等條件（因?yàn)闆](méi)有正式表述，在這里所需條件不能完全說(shuō)清楚），那這個(gè)社會(huì)選擇函數(shù)是獨(dú)裁的。（也就是說(shuō)，此時(shí)，必然存在這樣的一個(gè)人，他想選誰(shuí)，投了誰(shuí)，社會(huì)就會(huì)選的誰(shuí)。）

這就是機(jī)制設(shè)計(jì)中的吉巴德-薩特斯韋特定理（Gibbard-Satterthwaite theorem）。

也就是說(shuō)，如果讓所有人都自愿說(shuō)實(shí)話，不管你是怎樣的投票機(jī)制，只要滿足那些條件，那必然導(dǎo)致這種至少看起來(lái)是非常不“公平”的結(jié)果。

當(dāng)然，和阿羅不可能定理一樣，吉巴德-薩特斯韋特定理的要求也算是比較嚴(yán)苛的。但不可否認(rèn)，和阿羅不可能定理類(lèi)似，它在很大程度上影響了相關(guān)問(wèn)題研究的發(fā)展方向與進(jìn)程。

后記

臺(tái)版結(jié)物語(yǔ)今天正式發(fā)售了，自己難以抑制自己激動(dòng)的心情，寫(xiě)篇科普冷靜一下。

不想又是一篇一萬(wàn)多字的啊。

倉(cāng)促而就，錯(cuò)漏難免，還望海涵。

那……就先這樣了吧