繼續(xù)聊二階線性非齊次微分方程：常系數(shù)線性非齊次微分方程——第二種要掌握的類型。

接著繼續(xù)“效用論”內(nèi)容。

part 1 同濟《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

二階線性非齊次微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=f（x）的微分方程。

將上面非齊次方程中的P（x）和Q（x）換成常數(shù)p、q，即得到——

常系數(shù)非齊次線性微分方程——形如d^y/dx^2+p dy/dx+q y=f（x）的微分方程。

上一次聊了二階線性齊次微分方程求通解的方法——

1. 寫出微分方程的特征方程；

2. 判斷特征方程解的情形；

3. 按照三種情形寫下通解，可以直接把通解背下來，也可以從特征方程直接推。

我們學(xué)過二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)的相關(guān)定理——

定理三：設(shè)y*（x）是二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）的一個特解，Y(x)是該方程對應(yīng)的齊次方程的通解，那么y=Y（x）+y*（x）是二階非齊次線性微分方程的通解。

所以，我們只需要解決求得二階線性非齊次微分方程的一個特解y*的方法即可。

書上列舉了兩種常見形式，不用積分即可求出——

1. f（x）=Pm（x）e^（lx）——其中l(wèi)是常數(shù)，Pm（x）是x的一個m次多項式：

   Pm（x）=a0x^m+a1x^（m-1）+……+am-1x+am；

2. f（x）=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]，其中l(wèi)、w是常數(shù)，Pl（x）、Pn（x）分別是x的l次、n次多項式，且有一個可為零。

類型二——

y"+py'+qy=e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]——用到了歐拉公式：：e^（ic）=cos c+i sin c——

預(yù)備步驟——

1. e^（ic）=cos c+i sin c，e^（-ic）=cos c-i sin c；

2. cos c=[e^（ic）+e^（-ic）]/2，sin c=[e^（ic）-e^（-ic）]/2i。

過程——

1. 用歐拉公式替代f（x）中的cos wx和sin wx，e^（lx）[Pl（x）cos wx +Pn（x）sin wx]=e^（lx）{Pl（x）[e^（iwx）+e^（-iwx）]/2+Pn（x）[e^（iwx）-e^（-iwx）]/2i}=[Pl（x）/2+Pn（x）/2i]e^（lx+iwx）+[Pl（x）/2-Pn（x）/2i]e^（lx-iwx）；

2. 我們令P（x）=Pl（x）/2+Pn（x）/2i，則它的共軛多項式為P'（x）=Pl（x）/2-Pn（x）/2i；

3. 這樣就將方程化回了第一種形式，分別求出y"+py'+qy=P（x）e^（lx+iwx），y"+py'+qy=P'（x）e^（lx-iwx）的一個特解y1*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）與y2*=x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）；——m=max{l，n}；

4. 再根據(jù)之前學(xué)過的“線性微分方程的疊加原理”知原方程具有形如y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）的特解；

5. y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）=x^ke^（lx）[Qm（x）e^（iwx）+Q'm（x）e^（-iwx）]=x^ke^（lx）[Qm（x）（cos wx+i sin wx）+Q'm（x）（cos wx-i sin wx）]；

6. 因為Qm（x）與Q'm（x）是共軛多項式，所以5中結(jié)果括號里兩項相加消去虛部，即y*=x^kQm（x）e^（lx+iwx）+x^kQ'm（x）e^（lx-iwx）=x^ke^（lx）[Qm（x）（cos?wx+i sin?wx）+Q'm（x）（cos?wx-i sin wx）]=x^ke^（lx）[Rm'（x）cos?wx+Rm"（x）?sin wx]。——其中Rm'（x）與Rm"（x）?是m次多項式。

定理四：設(shè)二階非齊次線性方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f（x）中，f（x）是兩個函數(shù)之和，即y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）+f2（x），而y*1（x）與y*2（x）分別是方程y"+P（x）y'+Q（x）y=f1（x）與y"+P（x）y'+Q（x）y=f2（x）的特解，那么y*1（x）+y*2（x）就是原方程的特解——線性微分方程的疊加原理。

part 2?經(jīng)濟學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學(xué)》第三章：效用論——

第一節(jié)引入效用的概念——

效用——效用是指對商品滿足人的欲望的能力評價，或者說，效用是指消費者在消費商品時，所感受到的滿意程度。——一種主觀心理評價。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

基數(shù)效用論——

邊際量——一單位的自變量的變化量所引起的因變量的變化。

邊際量公式——邊際量=因變量的變化量/自變量的變化量

總效用（total utility）——TU——消費者在一定時間內(nèi)從一定數(shù)量商品的消費中所得到的效用量的總和。

邊際效用（marginal utility）——MU——消費中在一定時間內(nèi)增加一單位商品的消費所得到的效用量的增量。

邊際效用函數(shù)——MU=ΔTU（Q）/ΔQ——TU（Q）為總效用函數(shù)——當ΔQ趨向于0時，MU=lim （ΔTU（Q）/ΔQ）=dTU（Q）/dQ。

邊際效用遞減規(guī)律——在一定時間內(nèi)，在其他商品的消費數(shù)量保持不變的條件下，隨著消費者對某種商品消費量的增加，消費者從該商品連續(xù)增加的每一消費單位中所得到的效用增量即邊際效用是遞減的。

例子：餓的時候吃第一個包子是最爽的，吃得越多，快感的增加程度隨之減弱，吃撐了就很不爽了。

以現(xiàn)在的進度，很快就可以銜接平新喬的書了。