命題4.15：

可作一已知圓的內(nèi)接正六邊形

已知：圓ABCDEF，直徑AD

求：作圓ABCDEF的內(nèi)接正六邊形

解：

求出圓ABCDEF的圓心點(diǎn)G

（命題3.1）

以點(diǎn)D為圓心，DG為半徑作圓CEH

（公設(shè)1.3）

連接CG，EG

（公設(shè)1.1）

延長CG與圓ABCDEF交點(diǎn)記為點(diǎn)F，延長EG與圓ABCDEF交點(diǎn)記為點(diǎn)B

（公設(shè)1.2）

連接AB，BC，CD，DE，EF，AF

（公設(shè)1.1）

求證：六邊形ABCDEF等邊且等角

證：

∵點(diǎn)D是圓CEH的圓心

（已知）

∴DE=DG

（定義1.15）

∵點(diǎn)G是圓ABCDEF的圓心

（已知）

∴DG=EG

（定義1.15）

∴DE=DG=GE

（公理1.1）

∴∠DGE=∠EDG=∠DEG

（公理1.5）

∵△DEG中，∠DGE+∠EDG+∠DEG=兩直角

（已知）

∴3∠DGE=兩直角

（公理1.1）

∴∠DGE=?直角

同理可證，∠DGC=?直角

∵∠BGC+∠DGE+∠DGC=兩直角

（命題1.13）

∴∠BGC=?直角

（公理1.2）

∴∠DGE=∠DGC=∠BGC

（公設(shè)1.4＆公理1.1）

∵∠DGE=∠AGB，∠DGC=∠AGF，∠BGC=∠EGF

（命題1.15）

∴∠DGE=∠DGC=∠BGC=∠AGB=∠AGF=∠EGF

（公理1.1）

∴?AB=?BC=?CD=?DE=?EF=?AF

（命題3.26）

∴AB=BC=CD=DE=EF=AF

（命題3.29）

∵?AF=?DE

（已證）

∴?DAF=?ADE

（公理1.2）

∴∠AFE=∠DEF

（命題3.27）

同理可證，六邊形ABCDEF其余角都相等

證畢

此命題在本卷中未被使用

推論：類似地，我們可以通過前面五邊形的方法，作出已知正六邊形的內(nèi)切圓和外接圓

來都來了，點(diǎn)個關(guān)注唄！