第一章 函數

第一節(jié) 函數概念

1、定義：自變量x，因變量y，x通過一個對應法則與y一一對應，記y=f(x)

x------------f加工方法-----→y

↓ ↓ ↓

自變量 對應法則 因變量

即：一個事物的變化帶動了另一個事物變化，二者所存在的關系，就稱函數關系式

比如y=X2

正方形面積S=邊長×邊長=X2

考點：①定義域：指x的取值范圍

②對應法則：指對x的加工/處理方式

定義域考點：①具體函數求定義域

②抽象函數求定義域

第二節(jié) 求解具體函數求定義域

具體函數：知道函數具體函數表達式，如y=x+1

掌握常見具體函數定義域

①y=1/x，x≠0

②y=2n√x，x≥0

③2n+1√x，x∈（-∞，+∞）

④y=logax，x＞0，x是數 lnx，x＞0

⑤y=tanx，x≠kπ+π/2

⑥y=cotx，x≠kπ

⑦y=antanx，y=ancotx，x∈R，x∈（-∞，+∞）

⑧y=ansinx，y=ancosx，x∈[-1,1]

x：注意：整體思想（一坨） 1/x x≠0，1/X2 X2≠0，1/2x-1 2x≠0

x----換---→口

如：√口 口≥0，1/口→口≠0

eg：求y=√2x+1的定義域

解：2x+1≥0

2x≥-1

x≥-1/2

∴y=√2x+1的定義域，x∈[-1/2，∞）

eg：y=1/2x2 -x-1

解：2x2 -x-1≠0

(2x-1)(x+1)≠0

2x-1≠0 x≠1/2

→

x+1≠0 x≠-1

二次函數：

1）求根公式

y=aX2 +bx+c=0

△=(-b±√b2 -4ac)/2a

**2）十字相乘

x2+(a+b)x+ab=0

=(x+a)(x+b)

3）完全平方和差

(a+b)2 =a2 +2ab+b2?

eg：求y=(√2x+1)/2X2-x-1的定義域

①2x+1≥0，x≥-1/2

②2X2-x-1，x≠-1/2且x≠1

∴x∈（-1/2，1）∪（1，+∞）

eg：（2018-4）y=1/sinx+√1-x2的定義域是（C）

A.(-1,1] B.(-1,1) C.[-1,0)∪(0,1] D.(-1,0)∪(0,1)

①sinx≠0，x≠0

②1-X2? ≥0，x2≤1，-1≤-x≤1

x2≤b→-√b≤-x≤√b

第三節(jié) 考點二：求抽象函數定義域

↓

不知道函數的具體表達式，含f(x)

題型：已知f(口)的定義域，求f(△)中x的范圍（定義域）

解法；兩函數對應法則一樣，則各自括號內范圍應相同

即：若a≤口≤b，則可得a≤△≤b，進而解出x

eg：f(x)中x∈[-1,3)，則f(x+2)的定義域為

解：∵f(x)中，-1≤x＜3

∴f(x+2)中，-1≤x+2＜3

∴x∈[-3,1)

eg：（2016-3）f(2-4x)中x∈[-1,3)，則f(x)的定義域為

解：∵f(2-4x)中，-1≤x＜3

∴-10＜x+2≤6

∴f(x)中，-10＜x+2≤6

∴x∈(-10,6]

第四節(jié) 考點3：根據函數對應法則求函數表達式

題型：

①已知f(x)，求f[f(x)]或已知f(x) g(x)，求f[g(x)]→直接代入法

eg：（2009）f(x)=ex,g(x)=sinx，求f[g(x)]

解：∵f(x)=ex ∴f[g(x)]=eg(x) ，f[g(x)]→esinx

eg：（2015）設f(x)=1/1-x，則f[f(x)]=

解：∵f(x)=1/1-x

∴f[f(x)]=1/1-f(x)

=1/{1-[1/(1-x)]}

=-(1-x)/x

②知：f(口)=△，求f(x)

1）換元法

a：令口=t

b：由口=t，反解出x

c：回代，化解計算出x

eg:設f(1/x-1)=x/(2x-1)，求f(x)

解：令1/x-1=t，x=1/(t+1)

∴原式：f(t)=1/1-t

∴f(x)=1/1-x

2）配湊法：將右邊湊成口的形式

三角函數，(a±b)2=a2+2ab+b2

eg：設f(cos2x)=tan2x，求f(x)及f(2x)

分析：tan2x=sinx/cosx=(1-cos2x)/cos2x

sin2x+cos2x=1

解：∵tan2x=(1-cos2x)/cos2x

∴f(cos2x)=(1-cos2x)/cos2x

∴f(x)=1-x/x=1/(x)-1

f(2x)=(1-2x)/2x=1/(2x)-1

第五節(jié) 反函數的概念

①定義：以y為自變量，x為因變量的函數，記為y=f-1(x).

②掌握：求解反函數的過程

由y=f(x)----解出x---→x=f-1(y)----互換x,y---→f-1(x)

eg：求y=x-2的反函數

x=y+2 ∴反函數為y=x+2

eg：y=ex +1的反函數最小為

lnex =ln(y-1) lnab =blna lne=1 ln1=0

→xlne=ln(y-1)

→x=ln(y-1)

∴反函數最小為y=ln(x-1)

第六節(jié) 常見的基本初等函數

①常數項：y=c（任意數）

②冪函數：y=xa y=x y=x2 y=x3 y=√x=x1/2

**公式：①xa·xb=xa+b

②xa/xb =xa-b

③b√x=xa/b

④x-a =1/xa

③指數函數：y=ax a>0，y=ex e=2.718

④對數函數：y=logax x=ay *lnx=logex

y=lnx?x=ey

y=logex

公式：①y=logax?x=ay

②y=logex=lnx?x=ey

四則運算：lna+lnb=lna·b

lna-lnb=lna/b

lnab=blna

uv=evlnu=elnuv

三角函數：

*常用的三角函數關系

勾股定理：a2+b2=c2

sinx=b/c cosx=a/c tanx=sinx/cosx，cotx=cosx/sinx

tan=b/a cotx=a/b tanx=1/cotx或cotx=1/tanx

secx=1/cosx cscx=1/sinx

*常用的三角函數值

sin(0)=0 cos0=1 tan0=0

sin(π/6)=1/2 cos(π/6)=√3/2 tan(π/6)=√3/3=sin(π/6)/cos(π/6)=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3

sin(π/4)=π/2 cos(π/4)=√2/2 tan(π/4)=1→antan1=(π/4)

sin(π/3)=π/2 cos(π/3)=1/2 tan(π/3)=√3

sin(π/2)=1 cos(π/2)=0

*常用的反三角函數值

①antan1=π/4 ③ansin1=π/2

②ancos0=π/2 ④antan0=0

antan√3=π/3

*常用的三角函數：

①平方和：sin2x+cos2x=1，1+tan2xsec2x，1+cot2x=csc2x

②二倍角：sin2x=2sinxconx

cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x

③降次：cos2x=(1+cos2x)/2，sin2x=(1-cos2x)/2

*1/1+cosx?(1-cosx)/(1+cosx)(1-cosx)=(1-cosx)/(1-cos2x)=(1-cosx)/sin2x

sec2x=1/cos2x

*平方差：(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方差公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

立方差：a3±b3=(a±b)(a2干2ab+b2)

第七節(jié) 復合函數及其分解

復合函數及其分解：

①定義：稱y=f[g(x)]這種形式的函數為復合函數。（函數內套函數）

考點：復合函數的分解 導數

*分解原則：從外向里，層層遞減，分解到含x的基本初等函數停。

注：每層用u,v,w

eg：y=sin(2x)

第一層是sin，第二層是2x

解：①y=sinu②u=2x

eg：y=sin2x y=sinx2

? ①y=sinu②u=x2

y=(sinx)2

↓

解：①y=u2②u=sinx

eg：y =sin(ln√(x2 -1))

解：y=sinu u=lnv v=√w w= x2 -1

第八節(jié) 函數奇偶性

*函數的四大性質：奇偶性**、有界性*、周期性、單調性

①函數的奇偶性（**）

1）條件→f(x)的定義域，關于原點（0,0）對稱

2）結論：①f(x)的圖像關于y軸對稱，→稱f(x)為偶函數

*注：此時f(-x)=f(x)

②f(x)的圖像關于原點對稱，→稱f(x)為奇函數

*注：此時f(x)=-f(x)

③理解

*常見的奇函數與偶函數：

①奇函數：x奇數 sinx ansinx tanx antanx

②偶函數：x偶數 cosx |x| 常數c

*奇，偶函數四則運算性質

奇±奇=奇 *奇×(÷)奇=偶

偶±偶=偶 *奇×(÷)偶=奇

*奇±偶=非奇非偶 偶×(÷)偶=偶

eg：（2014-3）y=x4 ·sinx的奇偶性： 奇函數

*①f(-x)=f(x)→偶 ②x4 →偶

f(-x)=-f(x)→奇 sinx→奇

∴x4·sinx→奇

*復合函數的奇偶性：

奇（奇）=奇 奇（偶）=偶 偶（奇）=偶

全奇則奇，遇偶則偶

eg：（2018）下列函數為奇函數的是（ ）

A.sin(cosx)偶

B.tan(sinx) cotx=cosx/sinx=偶/奇→奇

C.tan(cosx)偶 tanx=sinx/cosx=奇/奇→奇

D.cos(cotx)偶

*題型一：含有常見具體函數，首先用函數性質，判斷奇偶性

eg：設f(x)=x4·sinx3 →偶·奇=奇

∵x4 是偶函數

sinx3 是奇函數

∴ 為奇函數

題型二：含f(x)的表達式→用定義

①含f(x)②f(-x)③f(-x)=f(x)→偶

f(-x)=-f(x)→奇

eg：設g(x)=f(x)+f(-x)判斷g(x)的奇偶性

解：∵g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)

∴g(-x)=g(x)

∴g(x)為偶函數

f(x)+f(-x)→偶函數 f(x)-f(-x)→奇函數

eg：設f(x)=[(ex+e-x )/2]·sinx2 的奇偶性

解：∵f(x)=[(ex+e-x )/2]·sinx2

∴f(-x)=[(e-x+ex )/2]·sinx2

∴f(x)=f(-x)

∴f(x)=[(ex+e-x )/2]·sinx2是偶函數

eg：（2008-3）設f(x)在x∈R上為任意函數，則下列函數為偶函數的是（ D ）

A.f(x)-f(-x) 奇函數

B.[f(x)]2 令g(x)=[f(x)]2，g(-x)=[f(-x)]2，無法確定奇偶性

C.|f(x)| 令g(x)=|f(x)|，g(-x)=|f(-x)|，無法確定奇偶性

D.f(|x|) 令g(x)=f(|x|)，g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)→偶函數

第九節(jié) 函數性質2

*②有界性

若f(x)函數值是固定在某個范圍內，稱f(x)有界

m≤f(x)≤M，稱M為上界，m為下界

*考點：0·有界=0

在極限中遇到sin∞、cos∞、antan∞要考慮有界性

③f(x) x1<x2，f(x1)<f(x2)=>f(x)↑

x1<x2，f(x1)>f(x2)=>f(x)↓

④周期性：經過一段時間，重復出現的現象

f(x)=f(x+T)

第十節(jié) 極限的概念

①limit

②思考：

極限：描述某個東西，在一定條件下的趨勢

第十一節(jié) 極限及其四則運算

①函數極限*

②數列極限*

*③左右極限

④極限存在：左右極限存在且相等

⑤注：f(x)在某點x0處的極限值與f(x)在該點有無定義/f(x0)無關

*函數極限計算?四則運算

設limf(x)=A,limg(x)=B

*①lin[f(x)±g(x)]=umf(x)±limg(x)=A±B

②limf(x)·g(x)=umf(x)·limg(x)=A·B

③limf(x)/g(x)=umf(x)/limg(x)=A/B B≠0

注：前提條件：極限存在

第十二節(jié) 函數極限計算小知識

①習慣：a.先定型→將x→x0中加代入f(x)中

b.定法：根據類型定方法

②注：在定型的時候，可將非零的常數 先計算（非零因子，先代入）

↓

乘、除關系中

③

第十三節(jié) 無窮比無窮極限計算

①定義：分子→（→的意思是趨于）∞，分母→∞的極限

②解法：抓大頭

③題型：1）冪函數抓大頭

2）指數函數

3）通過抓大頭求參數

①冪函數抓大頭→抓次方最大項

儲備：x→+∞ 1<<x<<x2<<x3 =>次方越高，值越的

1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

解法2：分子、分母同除式子中的最高次項（x的最高次或n的最高次）

②指數函數抓大頭：

解法：抓底數最大項

③利用∞/∞極限存在，反求參數a,b

↓

常數

1）看分母最高次，再看分子最高次

2）結論：分母最高次=分子最高次，值為非零常數

分母最高次>分子最高次，值為0

第十四節(jié) 0/0函數極限計算

①定義：分子→0，分母→0的極限

②解法：利用等價無窮小量求解

③等價來源：

④常用的等價公式

當x→0時

⑤