? 第一節(jié) 定積分的概念與性質

○ 定積分的定義

設函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中插入若干個分點

a=x0<x1<...<xn=b

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點t，作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積并作出和

S=Σf(t)?xi

記Lambada=max{?x1,...,?xn}

如果當Lambda趨于0時，這和的極限總存在且與分法與取法無關，則稱這個極限 I 為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分（簡稱積分）記作

∫(b,a)f(x)dx，即

∫(b,a)f(x)dx= I =limΣf(t)?xi

極限存在時 I 僅與[a,b]有關

○ 定理1? 設f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

○ 定理2 設f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則可積。

○ 面積估計方法（矩形法，梯形法，拋物線法（又稱Simpson法））

○ b = a, ∫(b,a)f(x)dx = 0;

∫(b,a)f(x)dx = -∫(a,b)f(x)dx

○ 性質：

§ c, d為常數(shù), ∫(b,a)[cf(x) + dg(x)]dx = c∫(b,a)f(x)dx + d∫(b,a)g(x)dx

§ a<c<b,

∫(b,a)f(x)dx = ∫(b,c)f(x)dx + ∫(c,a)f(x)dx

§ 如果區(qū)間[a,b]上f(x)=1?

∫(b,a)f(x) = b-c

§ 若在某區(qū)間f(x)>0, 則在該區(qū)間的積分也大于零

§ m(b-a)<=∫(b,a)f(x)dx<=M(b-a)

§ ∫(b,a)f(x)dx = f(t)(b-a) (a<= t<=b)

? 第二節(jié) 微積分基本公式

○ ∫(b,a)f(x)dx = F(b) -F(a)（N-L公式）

? 第三節(jié) 定積分的換元發(fā)和分部積分法

○ 與不定積分基本類似

? 第四節(jié) 反常積分

○ 無限的反常積分

§ 定義 ：上下限有一為無窮大即為無限的反常積分

§ 計算：求極限，若極限存在，即用極限代替該 上/下 限的值計算，若不存在即稱該積分發(fā)散

○ 無界的反常積分（瑕積分）

§ 用瑕點處的積分的極限代替瑕點計算，若極限不存在，即為發(fā)散

? 第五節(jié) 反常積分的審斂法 伽馬函數(shù)(Gramma function)