從初中開始就學習函數(shù),但似乎總是有一種說不清道不明的感覺.

????最早接觸的是正比例函數(shù),反比例函數(shù),一次函數(shù),二次函數(shù),這四類具體的函數(shù)中,二次函數(shù)常常成為我們解題中的攔路虎,使我們承受了不應有的打擊,知道了人生的挫折.例如求二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)最值,常規(guī)的辦法是配方,當x=-b/(2a)時函數(shù)y取到最值,當a>0時為最大值;a<0時為最小值.而且最值的數(shù)據我們也知道,是(4ac-b^2)/(4a).但通常情況下考試題中不會直接問你自然條件下的最值,而是給定了區(qū)間來求最值,此時就必須考慮區(qū)間與對稱軸的位置關系,千萬不能不分青紅皂白地直接將區(qū)間的端點值代入,這是命題者設置陷井的常用手段!再要是想考查能力的話,常常會給定對稱軸在動區(qū)間上求最值,或者是給定區(qū)間當對稱軸變化時求最值,這兩類問題經常會涉及分類討論思想,是考試中大題常見的形式.

???例如:求y=3x^2+x-3在區(qū)間[m,n]上的最值.

???分析與解答:

???這個二次函數(shù)的對稱軸為x=-1/6,欲求區(qū)間[m,n]上的最值,需要分四種情形來討論:①-1/6<m;②m≤-1/6≤(m+n)/2;③(m+n)/2<-1/6≤n;④n<-1/6.

???詳細解答過程讀者自行完成.

???再如:求y=2x^2+ax+3區(qū)間[0,3]上的最值.

???分析與解答:

???這里對稱軸為x=-a/4,欲求其在區(qū)間[0,3]上的最值,需分四種情形來討論:①-a/4≤0;②0<-a/4≤3/2;③3/2<-a/4≤3;④3<-a/4.

???詳細解答過程也請讀者自行完成.

???上述題型我們在初中已經接觸過,屬難度較大的問題.即使在高中,依然是各類考試中屢見不鮮的題型,需要下功夫去掌握,這類問題也是考察函數(shù)與方程思想的重要題型.

???現(xiàn)在對于二次函數(shù)的考查往往更加隱蔽,更加委婉,如:

???若實數(shù)x,y滿足x^2+4y^2=4x,則x^2+y^2的取值范圍是＿＿

???通過分析題意,由已知條件變形為y^2=x-(x^2)/4,代入則x^2+y^2=(3/4)x^2+x=(3/4)(x+2/3)^2-1/3,問題變成了求二次函數(shù)的值域,但有了矛盾,因為經過配方的式子最小值為-1/3,而注意到前面是兩個平方項的和,是非負的,可見這里的變量x可能有所限制,這個限制條件在哪里呢?回頭再看條件,發(fā)現(xiàn)4x-x^2=4y^2≥0,即0≤x≤4,這是最容易被忽視的隱含條件,這樣問題轉化為給定區(qū)間上求二次函數(shù)的值域,又二次函數(shù)對稱軸在區(qū)間左側,拋物線開口向上,函數(shù)遞增,于是值域就是兩個端點對應的函數(shù)值,即[0,16].

???當我們進入高中,學習了集合理論之后,我們又運用集合與映射的觀點重新定義了函數(shù)的概念,函數(shù)是非空數(shù)集上的映射,而映射是一對一,多對一的對應,于是在康托爾集合論的基礎上來理解函數(shù),又別有一片天地.

???之前的函數(shù)概念:在某一運動變化過程中有兩個變量x,y,當x在某一給定范圍內任意取值時,在某一對應法則f的作用下,y都有唯一確定的值與它對應,那么y就叫做x的函數(shù),其中x叫自變量,x的取值范圍構成的集合就是定義域,y的對應值的集合就是值域.這個定義來源于物理學上的運動過程,如s=vt等,這種運動變化觀點下的函數(shù)定義稱為傳統(tǒng)定義,而現(xiàn)在建立在集合與映射觀點之上的函數(shù)定義稱之為近代定義.

???面對這樣的函數(shù)定義,我很快就想到了人生的話題.人其實就是一個自變量,要盡可能地為自己擴大取值范圍,然后才有可能在追求理想和成功的對應法則之下,去獲得生命價值的最大值,因為自變量的特點就是主動性,自覺性,人在生命成長的過程中,就應該積極主動地去迎接現(xiàn)實的風雨,為自己闖出一片自由而多彩的天空!當然,我們每個人的生命都是有限的,我們的活動范圍當然也是有限的,我們的定義域要盡量自己去擴展.我們應該相信自己,付出總有回報,要做就做最好!凡事只有想不到,沒有做不到!

????Anything is possible.

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???(2006-12-06 10:59:51)