在開(kāi)始簡(jiǎn)介拉東變換之前, 先來(lái)看一條視頻? (宣傳自己)

然后我們來(lái)說(shuō)一下CT的工作原理

CT? ?(Computed Tomography, 計(jì)算機(jī)斷層成像)

CT就是把一個(gè)人送進(jìn)洞里, 然后獲得這個(gè)人的全部斷層圖像, 那么它是怎么工作的呢

大家可能大概應(yīng)該都有拍過(guò)x光片吧?? x光的成像原理不難, 就是x光穿過(guò)身體, 越厚實(shí)的地方阻隔x光越多, 成像后越厚實(shí)的地方就越白, 非常簡(jiǎn)單對(duì)不對(duì).? ?那么CT其實(shí)就是在x光的基礎(chǔ)上加了很多數(shù)學(xué)魔法而已

在某一個(gè)瞬間, 人體的某個(gè)部位進(jìn)入了CT的掃描范圍, x光的發(fā)射和探測(cè)裝置就會(huì)在洞里旋轉(zhuǎn)了半圈 (補(bǔ)充: 拍x光片的探測(cè)器是平面的, 而ct是一條線狀的)

而在某一個(gè)瞬間的某一個(gè)角度, x光和探測(cè)器如下圖所示

黑色方塊是人體內(nèi)部組織, 藍(lán)色的圓圈是ct機(jī)的那個(gè)洞, 綠色的是x光的路徑, 紅色的是探測(cè)器, 紫色的是探測(cè)器收到的x光強(qiáng)度(藍(lán)色的那條線是x光正常強(qiáng)度)

如果把這半圈得到的信息整理成一張圖片? (假設(shè)x光強(qiáng)度越強(qiáng), 得到的顏色越黑,? ?不過(guò)現(xiàn)實(shí)的x光片也確實(shí)是這樣的),? 如下圖

這張正弦圖里記錄了在這個(gè)瞬間人體截面的所有信息(有損失), 那么就可以通過(guò)某種方法得到人體的截面了

在開(kāi)始說(shuō)這種方法時(shí), 先來(lái)介紹一下本篇的主角: 拉東變換

拉東變換 (Radon Transform, 有時(shí)還叫R變換)

其實(shí)CT這種, 由一個(gè)物體得到這個(gè)物體相對(duì)應(yīng)的正弦圖的方法就叫做拉東變換

我們假設(shè)平面xOy中存在一個(gè)密度函數(shù) ρ(x, y)?, 也就是說(shuō)在任意一點(diǎn)(x,y)存在一個(gè)密度數(shù)值

我們?cè)偌僭O(shè)光線與x軸的夾角為?θ?, 屏幕為無(wú)限長(zhǎng), 且屏幕上的任意一點(diǎn)可以用?r?表示, 那么屏幕上任意一點(diǎn)在任意角度得到光線被削弱的強(qiáng)度可以用一個(gè)函數(shù)表示: R(r, θ), 且這個(gè)R函數(shù)與ρ密度函數(shù)相關(guān)

那么我們來(lái)求這個(gè)R函數(shù)的表達(dá)式

假設(shè)在某一角度 θ_0, 屏幕上的一點(diǎn) r_0, 光線路徑為 L, 那么屏幕上得到的強(qiáng)度 R_0 就等于路徑L上對(duì)ρ函數(shù)的積分了, 如下圖所示

用數(shù)學(xué)表達(dá)就是下面的東西

使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)可以知道: 這個(gè)路徑L的表達(dá)式為??r - x cos θ - y sin θ? =? 0

那么我們需要想辦法把路徑L和ρ函數(shù)扯上關(guān)系

在這里我們需要科普一個(gè) "沖激函數(shù) δ(x)"?, 這個(gè)函數(shù)不是數(shù)學(xué)上嚴(yán)格存在的函數(shù), 但是也不影響人們?nèi)ナ褂盟?/p>

δ(x)只有在x=0時(shí)它才會(huì)等于1, 而其他時(shí)候則等于0, 圖像如下圖所示

這個(gè)函數(shù)有一個(gè)數(shù)學(xué)上不允許存在的定義:

這里來(lái)說(shuō)一下為什么不允許存在 (學(xué)歷不深的請(qǐng)盡快逃離): 是數(shù)學(xué)上規(guī)定, 測(cè)度為0的區(qū)間積分也為0, 但是這個(gè)函數(shù)在區(qū)間 (0-, 0+)中, 明明測(cè)度為0, 但是積分后卻等于1.? ?這不是什么bug, 而是人為規(guī)定的, 所以才說(shuō)這個(gè)函數(shù)嚴(yán)格來(lái)說(shuō)不存在

有了這個(gè)函數(shù)之后, 我們可以用這個(gè)函數(shù)把ρ函數(shù)多余的部分壓平(便乘0): ρ(x, y) * δ(r-xcosθ-ysinθ), 然后在平面xOy中積分, 就可以得到了ρ函數(shù)在路徑L上的積分了, 于是拉東變換就是下面的表達(dá)式:

上面的積分式是拉東變換的標(biāo)準(zhǔn)寫(xiě)法, 不過(guò)我發(fā)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)里基本上用不了, 而且平面積分也不好計(jì)算, 于是我發(fā)現(xiàn)用參數(shù)方程代替ρ的xy就可以得到傳統(tǒng)意義上的線積分:

突然被家里人趕出家門(mén), 剩下的拉東逆變換下次新開(kāi)一篇吧