題目:如圖1,在凸四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,對角線BD上存在一點P滿足∠APB=2∠CPD,線段AP上兩點X,Y滿足∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD.

求證:BD=2XY

思考過程:X和Y都是后生成的點,位置比較刁鉆,關(guān)于線段XY,可獲取的信息太少.

因此考慮利用相似把XY轉(zhuǎn)移出去.

∠ABC=∠ADC,顯然ABCD四點共圓,AC為直徑,畫出外接圓與圓心.(如圖2)

圓心出來了,連一下OX,OY.

觀察猜想△OXY∽△CDB.

題目給的條件全都是角,顯然證明相似的途徑是倒角.

為了便于倒角,連接OD,OB.(如圖3)

由于∠AYD=2∠ABD,∠AOD=2∠ABD,AYOD四點共圓.

那么有∠XYO=∠ODA=∠OAD=∠DBC.

同理,∠YXO=∠BDC.

那么相似就得到了證明.

BD/XY就可以轉(zhuǎn)化為OY/DC.

那么接下來就要證明DC=2OX.

題目中還有關(guān)于點P的條件沒有用到,那么考慮延長AP.

而O是AC中點,那么可以嘗試構(gòu)造中位線來獲得1:2的關(guān)系.

因此,過C作OX平行線,交AP延長線于E.(如圖4)

觀察猜想△PCE≌△DPC.

∠E=∠AXO=∠BDC.

由∠APB=2∠DPC得∠EPC=∠CPD.

又有公共邊PC,因此全等得證.

那么CE=CD.

而OX為中位線,CE=2OX.

所以CD=2OX.

這樣題目就得到了證明.

下面給出證明過程.

證明:

∵∠ABC=∠ADC=90°

∴ABCD四點共圓,AC為外接圓直徑.

取外接圓圓心O,連接OB,OD,OX,OY.

∠XYO=∠ODA=∠OAD=∠DBC.

同理,∠YXO=∠BDC.

∴△OXY∽△CBD

∴XY/BD=OX/CD

過C作OX平行線,交AP延長線于E.

∵∠APB=2∠DPC.

∴∠EPC=∠CPD.

∵O為AC中點,O平行于CE.

∴OE平行等于2OX.

∴∠E=∠AXO=∠BDC.

又OP=OP

∴△CPE≌△CPD.

∴XY/BD=OX/CD=OX/CE=1/2

證畢.

幾何圖像網(wǎng)址:https://www.desmos.com/geometry-beta/hqjtcvbkvh?lang=zh-CN

(圖畫起來有點煩)

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