圓周率為圓周長(zhǎng)與直徑的比值，早期對(duì)於圓周率的計(jì)算就是利用割圓術(shù)，在圓的內(nèi)外做正多邊形，利用多邊形的周長(zhǎng)來(lái)估計(jì)圓周長(zhǎng)。今天就用 GGB 展示這動(dòng)態(tài)逼近的過(guò)程。

步驟一 構(gòu)造圓內(nèi)接多邊形?

說(shuō)明：

最初割圓術(shù)是從正六邊形開(kāi)始，邊長(zhǎng)逐次加倍，因此為了製作 n= 6,12,24,48,96,192 的正多邊形，需要先建立一個(gè)滑動(dòng)條 p ，其範(fàn)圍為 1~6 ，接著利用 n = 3*2^p 。

利用 [多邊形] 工具建立正多邊形，需要先建立正多邊形的一邊。因此，由 A=(1,0) 對(duì)圓心O 旋轉(zhuǎn) An = 360deg/n 得到 A' 。接著利用 Polygon(A,A',n) 就可建立圓內(nèi)接 n 邊形。?

為了計(jì)算此時(shí)的圓內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)，可將 線段 AA' 的長(zhǎng)度命名為 si ，再定義 pii = si*n/2 就可以得到內(nèi)接多邊形逼近的圓周率。

步驟：

# 建立圓

O = (0,0)

A = O+(1,0)

#建立一個(gè)滑動(dòng)條來(lái)控制正多邊形的邊數(shù)

p = Slider(1,6,1)

n = 3*2^n

An? = 360deg/n

A' = Rotate(A, An, O)

Polygon(A,A')?

# 計(jì)算圓周率

si = Segment(A,A')

pii = si*n/2?

步驟二?構(gòu)造圓外切多邊形?

說(shuō)明：

要建立外切多邊形需建立其一條邊?BB'，先用∠AOA' 的平分線交過(guò) A 的切線交於 B 點(diǎn)。

接著將 B 對(duì) A 作對(duì)稱(chēng)得到 B' ，此時(shí)再以 BB' 為一邊建立正 n 邊形就可得到圓外切 n 邊形。

要由外切正n邊形的周長(zhǎng)來(lái)估計(jì)圓周率，先定 so 為線段 BB' 的長(zhǎng)。再令?pio = so*n/2 就可得到外切正n邊形周長(zhǎng)推出的圓周率。

步驟：

# 建立一邊 BB'， 再以此邊建立正 n 邊形

h = AngularBisector(A,O,A')

g = OrthogonalLine(A, Segment(O,A))

B = Intersect(h,g)

B' = Reflect(B,A)

Polygon(B,B',n)

# 計(jì)算圓周率

si = Segment(B,B')

pii = si*n/2?

小結(jié)

當(dāng)邊數(shù)大於 100 時(shí)，從圖形上來(lái)看正多邊形已經(jīng)很近似於圓。而 Geogebra?大約適合處理1000 以內(nèi)的點(diǎn)數(shù)。?因此，要用這個(gè)圖形化的近似表示不宜使用到太大的邊數(shù)。對(duì)於更多邊形，可以用表格區(qū)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，可以參考以下任務(wù)https://www.bilibili.com/video/BV1sE41157Q1

相關(guān)連結(jié)

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/bewke7a7

【Bili】https://www.bilibili.com/video/bv1Fq4y1u76q

【YouTube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5Jc7svBY3Fk-GgVKjQ2icrP