也許關(guān)于宇宙最值得注意的事實(shí)是，宇宙中的每一個(gè)粒子，無論何時(shí)、何地、在任何條件下，都遵循完全相同的物理定律。自然界遵循的規(guī)則對(duì)萬(wàn)物來說都是相同的，通過找到描述這些規(guī)則的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，我們也可以描述自然。

通常，發(fā)現(xiàn)一種新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，會(huì)產(chǎn)生一種新物理框架的發(fā)展，而在該框架準(zhǔn)確描述宇宙的地方，就可以推導(dǎo)出新的物理學(xué)。對(duì)于宇宙來說，最令人著迷的數(shù)學(xué)可能性之一是八元數(shù)。

八元數(shù)有機(jī)會(huì)成為宇宙如何運(yùn)行的答案？還是僅僅是炒作？下面讓我們從頭開始：從物理基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)開始，一起來探索答案吧！如果你在數(shù)學(xué)上所掌握的只是實(shí)數(shù)概念，你仍然可以走得很遠(yuǎn)。從伽利略到牛頓，從庫(kù)侖到麥克斯韋，整個(gè)經(jīng)典物理學(xué)都建立在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上。力定律、運(yùn)動(dòng)方程和更多的東西都可以推導(dǎo)出來，而不需要求助于比實(shí)數(shù)集（包括變量、常數(shù)和相關(guān)函數(shù)）更高級(jí)的數(shù)學(xué)。

但這已經(jīng)需要一個(gè)花了幾千年才發(fā)展起來的數(shù)學(xué)飛躍：將負(fù)數(shù)包括在內(nèi)的飛躍。當(dāng)你把球扔向空中，問它什么時(shí)候會(huì)落地，你會(huì)得到兩個(gè)關(guān)于時(shí)間的答案：一個(gè)是肯定的，一個(gè)是否定的。有時(shí)，任何一個(gè)答案都可能是正確的，但僅靠數(shù)學(xué)不能告訴你適用于哪種情況。為此，你需要問題的物理?xiàng)l件，這就是你如何決定哪個(gè)答案是相關(guān)的。但是，實(shí)數(shù)?（即使同時(shí)包括正數(shù)和負(fù)數(shù)?）其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性也是有限的。

例如，任何實(shí)數(shù)，當(dāng)你平方它時(shí)，不管你開始的實(shí)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，總是得到一個(gè)正數(shù)。但是，如果嘗試取實(shí)數(shù)的平方根，則只有正數(shù)才會(huì)給出實(shí)數(shù)結(jié)果。負(fù)數(shù)的平方根沒有很好的定義，如果我們把自己限制在實(shí)數(shù)集上，無論如何都不是這樣。但是有一種新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以添加到折疊中，它不僅可以定義負(fù)數(shù)的平方根，還可以執(zhí)行僅使用實(shí)數(shù)不可能進(jìn)行的新數(shù)學(xué)運(yùn)算。這一進(jìn)步需要完全引入一組新的數(shù)：虛數(shù)和復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)i被定義為√(-1)。

實(shí)數(shù)只有一個(gè)實(shí)數(shù)部分，由實(shí)數(shù)定義：a，但是復(fù)數(shù)既有實(shí)數(shù)部分，也有虛數(shù)部分a+bi，其中a是實(shí)數(shù)部分，bi是虛數(shù)部分(B也是實(shí)數(shù))。通過從實(shí)數(shù)學(xué)到復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)(包括復(fù)雜群論的數(shù)學(xué))，一套全新的物理現(xiàn)象可能會(huì)出現(xiàn)。量子物理學(xué)不同尋常地利用了這一點(diǎn)，指出執(zhí)行量子操作的順序產(chǎn)生了巨大差異。對(duì)于實(shí)數(shù)，你是乘2*3還是乘3*2都無關(guān)緊要；你會(huì)得到同樣的答案，同樣對(duì)于復(fù)數(shù)，(2+5i)*(3-4i)與(3-4i)*(2+5i)相同。

但是對(duì)于量子操作者來說，順序是非常重要的，如果你先測(cè)量一個(gè)量子粒子在x方向上的自旋，然后再在y方向上測(cè)量，這個(gè)粒子的性質(zhì)，將與你以相反順序測(cè)量它的性質(zhì)有根本不同。這個(gè)屬性稱為非交換性?，需要復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)而不是實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)（特別是復(fù)向量空間）才能解釋它。一個(gè)復(fù)數(shù)的平方可以得到一個(gè)負(fù)的結(jié)果，這一事實(shí)催生了狄拉克方程革命性的數(shù)學(xué)解，預(yù)測(cè)了“負(fù)量子態(tài)”的存在。狄拉克最初稱這些狀態(tài)為“空穴”。

但不久之后，物理學(xué)家們意識(shí)到真正發(fā)生了什么：這是反電子或正電子形式的反物質(zhì)第一個(gè)理論預(yù)測(cè)，其實(shí)驗(yàn)證實(shí)是現(xiàn)代量子物理學(xué)發(fā)展過程中最重要的發(fā)現(xiàn)之一。你可能會(huì)直觀地認(rèn)為，如果能找到一種更復(fù)雜、更一般的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來擴(kuò)展復(fù)數(shù)?（就像復(fù)數(shù)擴(kuò)展實(shí)數(shù)?的方）就可以找到一個(gè)新物理應(yīng)用。如果你試圖取一個(gè)復(fù)數(shù)的平方根，不管它的實(shí)部和虛部是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，總是會(huì)得到一個(gè)復(fù)數(shù)，所以這條路線不會(huì)給你帶來更豐富的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

但是有一個(gè)固有的非交換擴(kuò)展可以應(yīng)用于復(fù)數(shù)：不是讓i2=-1，而是定義三個(gè)獨(dú)立的實(shí)體，i，j和k，其中i2=j2=k2=-1，但是組合i*j*k=-1。這組四重因子，得到的不是實(shí)數(shù)(A)或復(fù)數(shù)(a+bi)，而是所謂的四元數(shù)：a+bi+cj+dk。四元數(shù)在數(shù)學(xué)中非常有用，但它們也與大量的物理應(yīng)用有關(guān)。復(fù)數(shù)表示二維平面（具有實(shí)軸和虛軸）中的點(diǎn)，而四元數(shù)具有足夠的維度和自由度來描述三維空間中的點(diǎn)。洛倫茲變換使用四元數(shù)組，它描述了當(dāng)接近光速時(shí)，長(zhǎng)度如何收縮和時(shí)間如何膨脹。

廣義相對(duì)論可以與現(xiàn)代代數(shù)中的四元數(shù)聯(lián)系起來，弱相互作用涉及四元數(shù)，三維空間旋轉(zhuǎn)也是如此。如果將系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)360度，某些量子現(xiàn)象就會(huì)反轉(zhuǎn)，但如果你再次旋轉(zhuǎn)720度，就會(huì)恢復(fù)正常。四元數(shù)基本上是不可交換的，并解釋為什么將三維對(duì)象繞一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，然后再繞另一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，最終狀態(tài)與繞相同的兩個(gè)軸旋轉(zhuǎn)相同的對(duì)象不同，但順序相反。所以，你可能會(huì)想，能把四元數(shù)延伸得更遠(yuǎn)嗎？有沒有其他方法來利用數(shù)學(xué)，在那里有另一種選擇來打開一個(gè)更豐富的結(jié)構(gòu)？

答案是肯定的，但這是有代價(jià)的，更復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的下一步是從四元數(shù)到八元數(shù)，每個(gè)八元數(shù)有八個(gè)元素。對(duì)于四元數(shù)，乘法順序很重要，因?yàn)镼1*Q2與Q2*Q1不同，但四元數(shù)仍然是可結(jié)合的。如果有三個(gè)四元數(shù)(q1、q2和q3)，則(q1*q2)*q3=q1*(q2*q3)。但是如果你有三個(gè)八元數(shù)，它們既是非交換的，也是非結(jié)合的；乘法順序不僅重要，而且以這種全新的方式很重要。四元數(shù)的數(shù)學(xué)與許多已知物理理論有關(guān)，而八元數(shù)的數(shù)學(xué)描述是超越已知物理的運(yùn)算。

描述出現(xiàn)在擴(kuò)展中的現(xiàn)象，如大統(tǒng)一理論(GUTS)和弦理論。雖然八元數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用還只是猜想，但有很多很好的理由讓我們對(duì)這些想法感興趣。八元數(shù)可以告訴我們，從理論上講，構(gòu)建超對(duì)稱量子場(chǎng)論需要多少時(shí)空維度。它們與特殊的李群聯(lián)系在一起，這些特殊的李群被用來構(gòu)建量子場(chǎng)，并通過E(8)群在超弦理論中發(fā)揮作用。我們?cè)谏衔闹杏懻摰乃念悢?shù)（實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù)）在抽象代數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是特殊的。

不會(huì)是宇宙運(yùn)行的“答案”

這四類代數(shù)是唯一可以將一個(gè)數(shù)除以除零以外的任何數(shù)，而不會(huì)得到未定量的代數(shù)，這使它們成為唯一存在的賦范除法代數(shù)。如果你試圖將八元數(shù)擴(kuò)展成一個(gè)16元的代數(shù)，就會(huì)得到七元數(shù)，它們遵循它們自己的非交換、非結(jié)合乘法規(guī)則，但如果試圖合并除法，就會(huì)失敗。八元數(shù)本身永遠(yuǎn)不會(huì)是宇宙萬(wàn)物如何運(yùn)行的“答案”，但它們確實(shí)提供了一種強(qiáng)大、廣義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，具有自己獨(dú)特的性質(zhì)。它包括實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和四元數(shù)的數(shù)學(xué)，但也引入了從根本上獨(dú)特的數(shù)學(xué)性質(zhì)。

這些性質(zhì)可以應(yīng)用于物理學(xué)，以做出新穎的預(yù)測(cè)，八元數(shù)可以給我們一個(gè)想法，從已知物理的擴(kuò)展來看，哪些可能性可能是令人信服的，哪些可能不那么有趣，但八元數(shù)本身并沒有預(yù)測(cè)到具體的觀測(cè)結(jié)果。八元數(shù)之于物理學(xué)，就像塞倫斯之于尤利西斯，八元數(shù)也絕對(duì)有誘惑力，八元數(shù)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)具有難以置信的豐富性，但沒有人知道這種豐富性對(duì)我們的宇宙是否意味著什么，更多的宇宙奧秘和數(shù)學(xué)，要有待進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)和探索，例如從1、2、3…9之后，人類才突破了有0的概念！

博科園｜文：Ethan Siegel/Forbes Science/S.W.A.B

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