連續(xù)統(tǒng)是一個數(shù)學(xué)概念。當(dāng)人們籠統(tǒng)地說：“在實數(shù)集里實數(shù)可以連續(xù)變動”，也就可以說實數(shù)集是個連續(xù)統(tǒng)；更嚴(yán)格的描述需要使用序理論、拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)工具。這里的連續(xù)是相對于離散的概念而言的。在不討論精確的定義前，有時人們也會談到一個量可以在某范圍內(nèi)連續(xù)取值，或者說該量的變化范圍是一個連續(xù)統(tǒng)。在數(shù)學(xué)上，連續(xù)統(tǒng)這一術(shù)語至少有兩種精確定義，但并不等價。另外，連續(xù)統(tǒng)一詞有時即指實數(shù)線或者實數(shù)集，這是較舊的叫法；見連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

連續(xù)統(tǒng)是一個擁有多于一個元素的集合，而且滿足如下性質(zhì)：

有序：任意兩個元素之間可以排序；（實數(shù)集的任意兩個數(shù)字之間可以排序）

稠密：在任意兩個元素之間存在第三個元素 ；（實數(shù)集的任意兩個數(shù)字之間存在無窮多個其他的數(shù)字）

無洞：有上界的非空子集一定有上確界 實數(shù)集即為連續(xù)統(tǒng)的例子；實際上它是連續(xù)統(tǒng)的原型。

這里的無洞就是指完備性：

實數(shù)集完備性基本定理：確界定理、單調(diào)有界原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊致性定理。 這六個定理是從不同角度描述了實數(shù)集的一個性質(zhì)：實數(shù)集關(guān)于極限運算是封閉的，即實數(shù)的連續(xù)性。它們之間相互等價，均可作為公理。

這里注意上確界和最大值的區(qū)別。

對于下面這個級數(shù)，令x=1,則等式左邊是一個無理數(shù)，右邊是有理數(shù)之和。左邊可以看作是右邊的上確界，也就是說，一個有理數(shù)的極限是無理數(shù)。如果只是有理數(shù)集合，則這個時候?qū)τ谟疫叺挠欣頂?shù)的級數(shù)運算來說，結(jié)果就是不完備的，因為這個結(jié)果變成了無理數(shù)，相當(dāng)于掉進(jìn)了有理數(shù)集合的洞里面去了。實數(shù)集剛好包括有理數(shù)和無理數(shù)，所以這種情況下就是完備的。