21．(12分)已知函數f (x)＝ax2－ax－xln x，且f (x)≥0．

(1)求a；

(2)證明：f (x)存在唯一的極大值點x0，且e－2＜f (x0)＜2－2．

【解析】(1)f (x)的定義域為(0，＋∞)，設g(x)＝ax－a－ln x，則f (x)＝xg(x)，f (x)≥0等價于g(x)≥0，

因為g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1，得a＝1．

若a＝1，則g′(x)＝1－．當0＜x＜1時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減；

當x＞1時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增，故x＝1是g(x)的極小值點，故g(x)≥g(1)＝0．綜上，a＝1．

(2)由(1)知f (x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，

設h(x)＝2x－2－ln x，則h′(x)＝2－．當x∈(0，)時，h′(x)＜0；當x∈(，＋∞)時，h′(x)＞0．

故h(x)在(0，)上單調遞減，在(，＋∞)上單調遞增．

又h(e－2)＞0，h()＜0，h(1)＝0，故h(x)在(0，)有唯一零點x0，在[，＋∞)有唯一零點，

且當x∈(0，x0)時，h(x)＞0；當x∈(x0，1)時，h(x)＜0；當x∈(1，＋∞)時，h(x)＞0．

因f ′(x)＝h(x)，故x＝x0是f (x)的唯一極大值點．

由f ′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f (x0)＝x0(1－x0)．

由x0∈(0，1)得f (x0)＜．因x＝x0是f (x)在(0，1)的最大值點，

由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得，f (x0)＞f (e－1)＝e－2．故e－2＜f (x0)＜2－2．