從羅爾定理的發(fā)現(xiàn)可以看出，這個(gè)定理其實(shí)很簡(jiǎn)單，就是當(dāng)有一段弧線(xiàn)其起點(diǎn)和終點(diǎn)完全相等的時(shí)候，那么，這段弧線(xiàn)的中間，一定存在一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)和X軸平行，也和直線(xiàn)

AB平行。我們知道，導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，其實(shí)就是極值點(diǎn)。由于AB兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，所以這段弧線(xiàn)如果有向上增加的過(guò)程，就必然有下降的過(guò)程，也就是必然存在至少一個(gè)這樣的極值點(diǎn)。

從上面拉格朗日中值定理的推導(dǎo)過(guò)程可以看出，與羅爾定理的差別僅僅在于改變了弦線(xiàn)AB的方向，從而證明的問(wèn)題也變成了在弧線(xiàn)上查找一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)方向還是和AB平行。

從上面的證明過(guò)程可以看出，拉格朗日定理還是套用了羅爾定理的條件，即兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值相等。為了達(dá)到這個(gè)目的，拉格朗日構(gòu)造了一個(gè)在端點(diǎn)處自己減自己的函數(shù)，因?yàn)锳,B兩點(diǎn)同時(shí)既屬于f(x)，又屬于直線(xiàn)AB，從而保證了這個(gè)輔助函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處滿(mǎn)足羅爾定理的條件，兩者函數(shù)值相等并且都等于0。

柯西中值定理則是在拉格朗日的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將這種情況拓展到了參數(shù)方程。

從羅爾中值定理到拉格朗日和柯西，我們可以清晰地看到科學(xué)創(chuàng)新的軌跡：

1：后者和前者一樣，都是證明曲線(xiàn)上存在某個(gè)點(diǎn)和弦AB平行；

2：后者創(chuàng)造條件也要滿(mǎn)足羅爾定理的端點(diǎn)條件。

所以后者是在前者的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際情況的需要，通過(guò)改變前人已有成果的應(yīng)用條件和領(lǐng)域，從而得出一個(gè)有意義的創(chuàng)新成果。