原視頻及評論參考:
BV1Aq4y1g79u
概念簡介:高斯整數(shù)是實部和虛部均為整數(shù)的復數(shù)。
原方程等價于求取模長為√2020的高斯整數(shù)
即|m+ni|=√2020(即滿足m2+n2=2020)
對2020質因數(shù)分解，即2020=22*5*101
根據(jù)棣莫弗公式(即復數(shù)相乘，輻角相加模長相乘)，m+ni可分解成3個模長分別為2,√5,√101的復數(shù)相乘
若3個分解后的子復數(shù)z?,z?,z?為高斯整數(shù)，則有
z?=±2,±2i
z?=±1±2i,±2±i
z?=±1±10i,±10±i
分別取1個高斯整數(shù)，組合相乘，有
2(1+2i)(1+10i)=-38+24i
2(1+2i)(1-10i)=42-16i
2(1+2i)(10+i)=16+42i
2(1+2i)(10-i)=24+38i
2(1-2i)(1+10i)=42+16i
2(1-2i)(1-10i)=-38-24i
2(1-2i)(10+i)=24-38i
2(1-2i)(10-i)=16-42i
2(2+i)(1+10i)=-16+42i
2(2+i)(1-10i)=24-38i
2(2+i)(10+i)=38+24i
2(2+i)(10-i)=42+16i
2(2-i)(1+10i)=24+38i
2(2-i)(1-10i)=-16-42i
2(2-i)(10+i)=42-16i
2(2-i)(10-i)=38-24i
ps:取實部為負的高斯整數(shù)，可提取負號再做運算，不改變乘積m+ni的實,虛部數(shù)值及模長，z?換為±2i只調換實,虛部位置及改變原虛部符號，即運算(m+ni)i=-n+mi，與上述結果有對應的重復，故省略z?為±2i時的討論。
取實部，虛部均為正整數(shù)的復數(shù)提取實,虛部即原方程的解(m,n)
共如下4組
(24,38),(38,24),(16,42),(42,16)