一道高中概率題引出的思考

2022-11-19 21:56 作者:不是mysteries 0人讀過(guò) | 我要投稿

緣由是這樣的

原題比較簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)期望只與 $p_1$ 和 $p_2$ 有關(guān)，將兩種排列情況比較一下就行了。但是我在想當(dāng)人數(shù)不止3人時(shí)，又要怎么排列呢？

因?yàn)槲业臄?shù)學(xué)能力本來(lái)就很爛，所以我的思考可能過(guò)于復(fù)雜。如果你有更好的思路，歡迎在評(píng)論區(qū)分享。

（以下均認(rèn)為q是p的一種排列且 $1%3Ep_1%3Ep_2%3E%E2%80%A6%E2%80%A6%3Ep_n$ ）

首先要定義一樣?xùn)|西:

$B_n%3Dq_n%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D(1-q_i)%2Bq_%7Bn-1%7D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-2%7D(1-q_i)%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Bq_2(1-q_1)%2Bq_1$

或者還可以寫(xiě)成：

$B_n%3D1-%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D(1-p_i)$

二者是等價(jià)的，你可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可以這樣去想：當(dāng)我們算概率時(shí)，從正面考慮，就是第一個(gè)式子，從反面來(lái)考慮就是第二個(gè)式子，真是非常amazing啊。

我們來(lái)研究一下這個(gè)東西有什么性質(zhì)。

$B_n$ 的大小只和 $q_i$ 的數(shù)值有關(guān)，和 $q_i$ 的排序無(wú)關(guān)。

從第二個(gè)式子可以看出， $q_i$ 是輪換的，說(shuō)明它們排列的順序?qū)Φ拇笮](méi)有影響，這是從原題的第一小問(wèn)得到的啟發(fā)。
當(dāng)集合 $%5Cleft%5C%7Bq_1%2Cq_2%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%2Cq_a%5Cright%5C%7D%3D%5Cleft%5C%7Bp_1%2Cp_2%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%2Cp_a%5Cright%5C%7D$ 時(shí)， $B_a$ 取最大值；反之，當(dāng)集合 $%5Cleft%5C%7Bq_1%2Cq_2%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%2Cq_a%5Cright%5C%7D%3D%5Cleft%5C%7Bp_n%2Cp_%7Bn-1%7D%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%2Cp_%7Bn-a%2B1%7D%5Cright%5C%7D$ 時(shí)， $B_a$ 取最小值。

接下來(lái)根據(jù)定義出來(lái)的 $B_n$ 來(lái)化簡(jiǎn) $E_%7B(x)%7D$

$E_%7B(x)%7D%3Dn%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D(1-q_i)%2B(n-1)q_%7Bn-1%7D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-2%7D(1-q_i)%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Bq_1$

$%3Dnq_n%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D(1-q_i)%2B(n-1)q_%7Bn-1%7D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-2%7D(1-q_i)%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Bq_1%2Bn%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En(1-q_i)$

$%3DnB_n-%5Bq_%7Bn-1%7D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-2%7D(1-q_i)%2B2q_%7Bn-2%7D%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-3%7D(1-q_i)%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B(n-1)q_1%5D%2Bn%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En(1-q_i)$

$%3DnB_n-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7DB_i%2Bn(1-B_n)$

$%3Dn-%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7DB_i$

根據(jù)性質(zhì)一和二，當(dāng) $q_1%3Dp_1$ 時(shí)， $B_1$ 取最大值；當(dāng) $(q_1%2Cq_2)%3D(p_1%2Cp_2)%E6%88%96(p_2%2Cp_1)$ 時(shí)， $B_2$ 取最大值。兩方面結(jié)合，當(dāng)且僅當(dāng) $(q_1%2Cq_2)%3D(p_1%2Cp_2)$ 時(shí)， $B_1%2BB_2$ 取最大值。

以此類(lèi)推，當(dāng)且僅當(dāng) $(q_1%2Cq_2%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%2Cq_n)%3D(p_1%2Cp%0A_2%2C%E2%80%A6%E2%80%A6%2Cp_n)$ 時(shí)， $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7DB_i$ 取最大值，即 $E_%7B(x)%7D$ 取最小值。