首先需要三個引理。

第一，F(xiàn)點為拋物線焦點，A點為拋物線P點到準(zhǔn)線的垂足，則拋物線P點處的切線為∠FPA的角平分線。由拋物線的定義，PF=PA，可知切線垂直于FA，即切線也可表述為過P點做的FA的垂線PB?？梢杂梅醋C法證明，若PB不是切線，則與拋物線有兩個交點P1、P2，即PB既是∠FP1A1的角平分線，又是∠FP2A2的角平分線，但∠FP1A1≠∠FP2A2，矛盾。

橢圓和雙曲線也有類似的性質(zhì)。

第二，過拋物線弦AB的中點M做對稱軸的平行線、交拋物線于點M'，則拋物線M'點處的切線平行于AB。用解析幾何很容易證明，至于阿基米德時代，歐幾里得的《幾何原本》、其學(xué)生阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》已經(jīng)將平面幾何發(fā)展到極致，可以用線段、比例、相似等平面幾何方法證明。

第三，過拋物線弦AB的中點M做對稱軸的平行線，過點A、點B做拋物線的切線，則這三條線交于一點S。很容易證明S點為圖中粉色三角形的外心。這條引理等價為，過拋物線弦AB兩個端點的兩條切線交于一點S，過點S做對稱軸的平行線交AB于點M，則點M為AB的中點。ΔSAB稱為阿基米德三角形。

有了上述引理，就可以用平面幾何方法計算拋物線與弦AB圍成的弓形面積了。

按照此窮竭法操作，一直到極限，可知拋物線將阿基米德三角形SAB分成兩份，面積比為1:2。也可以表述為，弓形面積為阿基米德三角形SAB面積的2/3，或者為ΔM'AB面積的4/3。

雖然用微積分可以快速解得弓形面積，但阿基米德等人的貢獻不可磨滅，數(shù)學(xué)不僅僅是計算技巧，更重要的是思想和邏輯。