老黃終于推導完成一整套關于“余弦正弦冪積的不定積分公式”。馬上又要開始另一套公式的推導了，那是關于“指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)冪的不定積分公式”。這套公式可能要比上一套更復雜。不過高數(shù)不定積分的公式都是由簡入繁的。老黃這里先給大家介紹一個最簡單的。

這套公式目前看來，基本有如下的步驟：

(1)推導In=∫e^(ax)*(sinbx)^ndx的遞推公式；

(2)利用(1)推導In=∫e^x*(sinx)^ndx (n∈N*)的不定積分公式；

(3)將公式拓展到(1)的不定積分公式；

(4)將公式從正弦拓展到余弦；

(5)將公式從正弦和余弦拓展到正割和余割.

其中第(1)步是基礎，本來由第(1)步可以直接進入第(3)步。但是那樣太復雜了。因此先求第(3)步的一個特例，就是當a=b=1時的公式(2)。這篇文章就要解決第(1)(2)步。雖然只有兩步，但知識是具有獨立性和完整性的。并不會因為沒有推導出后面三步而顯得知識不完整。

具體推導的方法只能用圖片的形式展示。

下面先完成探究1：In=∫e^(ax)*(sinbx)^ndx的遞推公式.

其推導過程主要運用了湊微分和分部積分法。多次重復利用e^(ax)dx=de^(ax)/a，以及三角函數(shù)的導數(shù)公式、積的求導法則和復合函數(shù)的求導法則。

可以利用這個遞推公式解決例1：求∫e^(3x)*(sinx)^2dx.

后面有一個問題：如果正弦的指數(shù)很大，那該怎么辦呢？自然就要探究(3)才行了。由于(3)的公式太麻煩，所以先探究它的特例(a=b=1)，也就是先完成(2)的探究。

探究2：In=∫e^x*(sinx)^ndx (n∈N*)的不定積分公式.

探究2重復運用了探究1的遞推公式的特例。其中除了求和公式，還有求積公式，總結起來非常麻煩，燒腦。它的原理是通過對正弦降冪，一直降到零次冪，就可以得到關于e^x的不定積分的式子，問題自然就解決了。

上圖僅探究了n是偶數(shù)的情況。先看一道這方面的例2：求∫e^x*(sinx)^6dx.

那么當n是奇數(shù)時，又會怎么樣呢？當n是偶數(shù)時，通過降冪，可以將正弦的指數(shù)降為0，當n是奇數(shù)時，只能降到1次冪，如下圖：

因此，我們可以特別地給I1求出來，即求出當n=1時的不定積分公式。如下圖：

這樣就可以得到n是奇數(shù)時的公式，如下圖：

接下來看這方面的例3：求∫e^x*(sinx)^5dx.

最后把公式組織如下：

這就是這套公式中最簡單的一個，你感覺怎么樣？

有興趣可以關注老黃，看看老黃接下來三步怎么解決。你也可以先于老黃，自己把它們解決了。老黃會為你點贊的。具體后面要怎么推，可能還要有所調整，因為設想和實際操作，往往是會存在差異的。