牛頓219、極限的直觀含義

?

如何理解極限的精確定義？——網(wǎng)友提問

…理、解、理解：見《歐幾里得58》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

?

…極、限、極限：見《歐幾里得178》…

…精、確、精確：見《牛頓25》…
…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

網(wǎng)友“溫欣提市”（華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)博士）答：你問的是個(gè)很深刻，有代表性的問題。

…深、刻、深刻：見《歐幾里得133》…

?

這是一個(gè)好問題。相信九成以上初學(xué)者在第一次接觸極限的嚴(yán)格定義的時(shí)候，都會(huì)感到不舒服。

…嚴(yán)、格、嚴(yán)格：見《歐幾里得125》…

?

實(shí)際上，有人真的很夸張。

前幾年有新聞報(bào)道國(guó)內(nèi)最好的大學(xué)之一的一位大一新生因?yàn)闊o法適應(yīng)極限的嚴(yán)格定義而自殺身亡的，高考時(shí)的成績(jī)都是全省前幾十名的，可悲！因此主要還是心理障礙的問題。

首先，對(duì)于數(shù)學(xué)系學(xué)生?或者數(shù)學(xué)科研人員?搞懂其嚴(yán)格定義是十分必要的。

…數(shù)、學(xué)、數(shù)學(xué)：見《歐幾里得49》…
…系：見《歐幾里得25》…

…必要：不可缺少；非這樣不行…

?

但對(duì)于物理，通信，金融工程等非數(shù)學(xué)系專業(yè)學(xué)生?搞懂極限的思想和直觀含義是更加重要的，能計(jì)算和應(yīng)用到其它學(xué)科才是重點(diǎn)。

…物、理、物理：見《歐幾里得139》…
…工、程、工程：見《伽利略2》…

（…《伽利略》：小說名…）

?

…思、想、思想：見《歐幾里得154》…
…含、義、含義：見《歐幾里得193》…

…計(jì)、算、計(jì)算：見《歐幾里得157》…
…應(yīng)、用、應(yīng)用：見《歐幾里得181》…

?

0.?與極限有關(guān)的一點(diǎn)數(shù)學(xué)史

…史：見《歐幾里得111》…

?

首先，函數(shù)極限的定義是這樣的：
…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…函數(shù)極限：見《牛頓217》…

…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個(gè)字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來…

…δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個(gè)希臘字母…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

?

直觀一點(diǎn)的表達(dá)就是：只要x無限靠近c(diǎn)，函數(shù)值就無限靠近L。

…表、達(dá)、表達(dá)：見《伽利略40》…

?

這是為微積分的發(fā)展服務(wù)的，因?yàn)檫@樣做才能精確定義微分和積分等。

…發(fā)、展、發(fā)展：見《伽利略21》…

?

牛頓，萊布尼茨（cí）最早發(fā)明微積分的目的，主要是要解決物理和幾何的一些問題。

…目、的、目的：見《歐幾里得195》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…問、題、問題：見《伽利略76》…

?

牛頓考慮的是物理問題，把函數(shù)看成物體隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)速度，那其導(dǎo)數(shù)就是加速度，積分就是位移。

…物、體、物體：見《伽利略9》…
…時(shí)、間、時(shí)間：見《伽利略10》…
…運(yùn)、動(dòng)、運(yùn)動(dòng)：見《伽利略9》…

…速、度、速度，加，加速度：見《伽利略3、4》…

萊布尼茨考慮的是幾何問題，其使用的記號(hào)更加直觀，就是我們現(xiàn)在用的這一套。

?

比如微分，導(dǎo)數(shù)的定義：

同時(shí)其幾何含義也是非常清楚的，即函數(shù)y=f（x）在x處的切線斜率。

積分也是如此，它是函數(shù)相應(yīng)求和的極限：

（留意兩邊記號(hào)的相似性。）
同樣的，其幾何含義是函數(shù)圖像與橫軸圍成的封閉圖像的面積。

?

但是牛頓和萊布尼茨并沒有給出嚴(yán)格的定義，一直那么用了很長(zhǎng)時(shí)間，直到柯西等人才完成。

?

其中最重要的就是極限的嚴(yán)格定義。

“極限的定義不是抽象，點(diǎn)集拓?fù)?，抽象代?shù)等這些課才適合用抽象來形容。

…抽、象、抽象：見《歐幾里得20、21》…

…拓?fù)洌阂姟杜ｎD205》“拓?fù)鋵W(xué)”…

?

極限的定義應(yīng)該叫繁瑣，原因就是它用了‘任意—存在’這種邏輯結(jié)構(gòu)。

請(qǐng)看下集《牛頓220、“任意—存在”邏輯結(jié)構(gòu)，人、話、人話，不說人話，直觀》”

若不知曉歷史，便看不清未來

歡迎關(guān)注嗶哩號(hào)“中國(guó)崛起呀”