對于學(xué)過高等數(shù)學(xué), 甚至是高中數(shù)學(xué)的人來說, 導(dǎo)數(shù)并不是什么新鮮事物. 而且求導(dǎo)總是一階一階地求的. 在講導(dǎo)數(shù)前, 先來看看導(dǎo)數(shù)的反面:

積分算符?I

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中, 求導(dǎo)是一個對函數(shù)的操作, 雖然在微分里出現(xiàn)了形形色色的 dx, dy, dsin(x)等的符號, 但是習(xí)慣上還是會把 d/dx 看作一個符號, 叫做微分算符? 防杠: 這里的x不一定是x, 只是形容"求導(dǎo)"這個操作.?而且微分算符(Nabla算子)?? 是一個高維函數(shù)的算子, 特殊地, 在一維函數(shù)上向量方向等于坐標(biāo)軸的正方向, 所以?在一維函數(shù)與"求導(dǎo)"是等價的?

相應(yīng)地, 有一個不太常見的算符叫做積分算符, 定義如下:?

這相當(dāng)于一個固定了常數(shù)C的不定積分.?與求導(dǎo)類似, 積分算符也有"高階"的說法, 并且積分下限可以修改, 例如:

對于一般n為正整數(shù)的情況, 柯西給出公式:

這個公式稱為 Cauchy's formula for repeated integration, 公式證明在本文最后給出

非整數(shù)階積分

well, 在柯西重復(fù)積分公式里, 唯一一個限制n必須為正整數(shù)的是(n-1)!, 除了顯而易見也想不到怎么樣形容, 這個不就是Γ函數(shù)嗎, 當(dāng)把(n-1)!替換成Γ(n)后, 得到另一個公式:? Riemann-Liouville Fractional Intergral

這時候n的定義從正整數(shù)擴(kuò)張到半個復(fù)平面了,?tips: Γ函數(shù)在另外半個復(fù)平面也是有定義的, 而公式在那個半平面沒有定義, 有興趣的也許可以去探究一下

非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)

重頭戲終于來了. 首先根據(jù)微積分不難看出:

定義算符D,?防杠: D和?? 都可以稱作微分算符, 但是D是專門為了非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)做的

結(jié)合上面兩式有:

其中那個像是方括號砍了一橫的是ceil函數(shù), 也稱向上取整, 計算方法.....向上取整.....嗯

這條公式就是非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)了, yap, 這就把重點(diǎn)說完了

注意事項: 使用算符D時, 導(dǎo)數(shù)里的鏈?zhǔn)椒▌t和乘法法則不再適用, 因?yàn)槔锩嬗嬎闶腔诜e分計算的

下面給出了幾個常用的式子:

對于更少數(shù)的情況, 提出了算符 J 用來合拼上述情況:?

Cauchy's formula for repeated?integration?的證明: