作者：Thomas M. Antonsen等

翻譯，獨(dú)行者，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)翻譯組成員。

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時(shí)差反應(yīng)是搭乘飛機(jī)旅行的人在跨越多個(gè)時(shí)區(qū)后常常出現(xiàn)的現(xiàn)象。經(jīng)典癥狀包括頭暈、惡心、在當(dāng)?shù)爻霈F(xiàn)白天醒不了、晚上睡不著。用簡(jiǎn)單的話來(lái)說(shuō)，人體內(nèi)的時(shí)間調(diào)節(jié)機(jī)制一般會(huì)與當(dāng)?shù)氐?4小時(shí)晝夜周期相適應(yīng)，這一般取決于外部自然條件（特別是日出日落）和社會(huì)條件。由于快速地跨越了多個(gè)時(shí)區(qū)，身體內(nèi)的晝夜節(jié)律調(diào)節(jié)機(jī)制需要時(shí)間去與所在地的外部自然晝夜周期進(jìn)行同步；這種重新同步機(jī)制的現(xiàn)象便是旅客們所表現(xiàn)的時(shí)差反應(yīng)現(xiàn)象。由于節(jié)律器的重新同步是一種動(dòng)態(tài)機(jī)制，這便促使人們從動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并嘗試解釋這一現(xiàn)象。

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當(dāng)身體產(chǎn)生許多信號(hào)來(lái)幫助調(diào)節(jié)身體的晝夜周期時(shí)，身體當(dāng)中的一個(gè)部位似乎起著非常重要的作用：視交叉上核（the suprachiasmatic nucleus，SCN），這是人體大腦中一個(gè)非常狹小的部位。醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)視交叉上核是由104個(gè)調(diào)節(jié)神經(jīng)元組成的一個(gè)序列，所以我們也就可以有理由認(rèn)為如果把這些神經(jīng)元單獨(dú)隔離開(kāi)來(lái)，這些生命調(diào)節(jié)器的周期大致在一個(gè)平均值上，通常情況下其平均時(shí)間在24小時(shí)以上。當(dāng)這些神經(jīng)元組合在一起的時(shí)候，這些生命節(jié)律調(diào)節(jié)器便會(huì)進(jìn)行相互協(xié)調(diào)，同時(shí)當(dāng)其中一個(gè)神經(jīng)元受到外界刺激后，他會(huì)通知其他神經(jīng)元進(jìn)行調(diào)節(jié)。就比如，太陽(yáng)的升起和落下。這些結(jié)論是我們構(gòu)建模型和預(yù)測(cè)分析的基礎(chǔ)概念，同時(shí)也是其他研究者的基本思路。但是我們所構(gòu)建的模型與之前的研究者有所不同，我們著眼于組合在一起的每一個(gè)的視交叉上核神經(jīng)元的微觀狀態(tài)，并將忽略高維度微觀結(jié)構(gòu)，將我們的研究縮減到低維度的宏觀結(jié)構(gòu)以便進(jìn)行觀察。我們建立模型主要是為了解釋相比于向西跨越相同數(shù)量時(shí)區(qū)，時(shí)差反應(yīng)在向東跨越同樣數(shù)量的時(shí)區(qū)后將會(huì)更加嚴(yán)重（例如，恢復(fù)時(shí)間更長(zhǎng)）的現(xiàn)象，因?yàn)檫@是人們普遍的感受。特別的，我們分析視交叉上核的平均晝夜周期略大于24小時(shí)現(xiàn)象對(duì)于東西時(shí)差反應(yīng)不對(duì)稱現(xiàn)象的解釋有多少可信度。

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在決定去了解在N個(gè)神經(jīng)視交叉上核集合中去分析跨時(shí)區(qū)旅行和時(shí)區(qū)重新同步之間的相互作用之初，我們使用了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的模型來(lái)分析這些神經(jīng)元的作用，這是考慮到了部分現(xiàn)實(shí)情況。藏本模型（Kuramoto model）是一個(gè)非常出名的模型，在這個(gè)模型中每一個(gè)神經(jīng)視交叉上核的復(fù)雜動(dòng)態(tài)變化都會(huì)被簡(jiǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的時(shí)間和相相關(guān)的演化方程θi(t),i表達(dá)的是在第i個(gè)視神經(jīng)交叉上核的狀態(tài)。其中i=1,2,3,……N. 而視神經(jīng)交叉上核的相則會(huì)在時(shí)間上提前一點(diǎn)。根據(jù)下面的公式可以得出各個(gè)變量之間的關(guān)系：

其中，ωi是每個(gè)視神經(jīng)交叉上核的自然頻率。在模型中，ωi是通過(guò)分布函數(shù)g(ωi)取得的，我們?nèi)〉氖窃?4小時(shí)內(nèi)的最大值ω。右邊第二個(gè)加數(shù)描述的是每一個(gè)視神經(jīng)交叉上核與其他神經(jīng)元之間同步的概率，其耦合強(qiáng)度為K。第三個(gè)加數(shù)則表示的是與外部的聯(lián)系，特別是太陽(yáng)光的影響。它影響的強(qiáng)度為F，每個(gè)神經(jīng)元都有一個(gè)相位δt + p，其中δ= 2πhr/(24s)，他代表的是每日的頻率，p相位依賴于時(shí)區(qū)。如果t是格林威治標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，p為正數(shù)，在格林威治東邊，p的取值范圍為0 < p <π；若在西邊，則為-π< p < 0。

看上去這個(gè)等式十分簡(jiǎn)單，但是它仍然需要巨大的數(shù)據(jù)量，每一組等式所需要的數(shù)據(jù)大概在N-10^4的數(shù)量級(jí)上。因此為了能夠進(jìn)一步簡(jiǎn)化等式，我們?cè)谶@里提出兩種方法。第一步，我們?nèi)∵B續(xù)極限：N→∞，則SCN的狀態(tài)取決于調(diào)節(jié)神經(jīng)元的相位和頻率隨時(shí)間分布的函數(shù)，f(θ,ω,t)。當(dāng)N>>1時(shí)，N→∞的極限才能有很好的近似。第二，我們使用通常所說(shuō)的奧特——安東森假設(shè)（Ott-Antonsen ansatz），這個(gè)假設(shè)為解出分布函數(shù)f提供了非常好的方法。當(dāng)簡(jiǎn)化系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)時(shí)，該假設(shè)為f(θ,ω,t)限定了函數(shù)表達(dá)式。更進(jìn)一步地，注記[6]發(fā)現(xiàn)在一個(gè)條件較為寬松而且長(zhǎng)時(shí)間的狀態(tài)下，f會(huì)在一定概率下收斂到簡(jiǎn)化條件的解上。因此，我們捕捉每一個(gè)匯點(diǎn)和分叉點(diǎn)。在自然調(diào)節(jié)頻率:

的洛倫茲分布情況下，SCN的宏觀狀態(tài)將由一個(gè)單一復(fù)數(shù)變量

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來(lái)表示，我們由此得到如下公式：

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其中復(fù)變量z的極角表示的是SCN的總體全局視神經(jīng)上核相位。因此我們的假設(shè)將一個(gè)N維系統(tǒng)簡(jiǎn)化為這種單一，一致性的復(fù)數(shù)常微分方程，以使我們能夠快速遍歷每一個(gè)變量空間，并能對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有更深刻的理解。

盡管假說(shuō)仍然需要對(duì)等式1所表示的宏觀狀態(tài)行為進(jìn)行研究，這種假說(shuō)仍然舊展示了這種降低維度能力的作用，不僅僅對(duì)等式1有效，還對(duì)非常多的情況有作用。這些場(chǎng)景包括，在倫敦千禧橋上的人行橫道上人致振動(dòng)、約瑟夫森結(jié)電路、鳥(niǎo)鳴的模型建立和脈沖耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建。這個(gè)模型還可加入更多額外的動(dòng)態(tài)特征，例如某一個(gè)視神經(jīng)上核對(duì)另一個(gè)的延時(shí)影響，不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?、空間耦合和反饋控制模型的效果。

正如圖像一所示，該模型是一個(gè)性質(zhì)相異的動(dòng)態(tài)空間，它擁有三個(gè)變量體系。我們認(rèn)為一個(gè)正常人的晝夜節(jié)律是與外部24小時(shí)周期相協(xié)調(diào)的，在z相位空間中是有一個(gè)對(duì)應(yīng)的固定點(diǎn)（在圖1a和1b中的一個(gè)黑點(diǎn)）。圖1c所示的狀態(tài)是一個(gè)人的晝夜周期節(jié)律與外部24小時(shí)周期是不同步的。該圖表明這個(gè)人的晝夜相位和外部刺激的相位變化曲線最終形成了一個(gè)封閉曲線，在z相位上組成一個(gè)周期性軌道。圖1a和圖1b的動(dòng)態(tài)關(guān)系之間其實(shí)也有差別；通過(guò)鞍結(jié)分岔過(guò)程處理，除了對(duì)應(yīng)的固定點(diǎn)，圖1b還有兩個(gè)另外的固定點(diǎn)，一個(gè)不穩(wěn)定（顯示成未閉合的圓）和一個(gè)鞍結(jié)（表示成一個(gè)交點(diǎn)）。鞍結(jié)的不穩(wěn)定特性就形成了一個(gè)環(huán)，而且z相位可以通過(guò)兩個(gè)相反的方向到達(dá)固定點(diǎn)。

為了能夠分析健康人從時(shí)差反應(yīng)中恢復(fù)過(guò)來(lái)的過(guò)程，我們假設(shè)旅行者是從他之前的時(shí)區(qū)（z相位是在固定的位置）來(lái)到目前的位置的。為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程，我們同時(shí)假設(shè)旅行者的跨時(shí)區(qū)旅程非常快，因此建立這個(gè)方程的時(shí)候在公式一中p的變化會(huì)是不連續(xù)的。因此，在旅行的最后，狀態(tài)變量z會(huì)迅速被[p(initial)-p(final)]旋轉(zhuǎn)后的(|z|fixed)所代替。z相位地固定點(diǎn)回到他之前的固定點(diǎn)前邊還是后邊取決于旅行結(jié)束的位置。我們比較感興趣的是恢復(fù)過(guò)程中存在的東向和西向的不對(duì)稱性，和以及恢復(fù)到正常狀態(tài)的時(shí)間。我們用一系列通用的變量代表了一個(gè)健康人的各項(xiàng)指標(biāo)。圖1a表示的便是變量集作用后生成的圖像，這張圖中只有一個(gè)固定點(diǎn)是穩(wěn)定的。當(dāng)外部刺激不存在時(shí)，視神經(jīng)交叉上核神經(jīng)元集合平均調(diào)整時(shí)間為24.5小時(shí)，和外部實(shí)驗(yàn)觀察類(lèi)似。這個(gè)計(jì)算結(jié)果也意外地表明自然狀態(tài)下，正常人視神經(jīng)交叉上核神經(jīng)元調(diào)節(jié)周期為24小時(shí)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一個(gè)比較小的差距（約30分鐘），這也就足以說(shuō)明東西向時(shí)差反應(yīng)的不對(duì)稱性是比較明顯的。

在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)應(yīng)用的SIAM會(huì)議上（DS17），愛(ài)德華·奧特將會(huì)出席朱楨·摩斯?fàn)柮麨椤按笮投鄠€(gè)聯(lián)動(dòng)的晝夜調(diào)節(jié)器的應(yīng)急行為”的講座。該講座將于今年五月在猶他州雪鳥(niǎo)市舉行。他同時(shí)會(huì)組織并在“使用備用電腦來(lái)學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)”的系列講座上發(fā)表講話，而米歇爾·吉瓦將會(huì)在“對(duì)稱性、非對(duì)稱性和網(wǎng)絡(luò)同步”的系列講座上發(fā)表演講。

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