命題3.8：

從圓外一點向圓凹弧上所引的線段中，過圓心的一條最長，在其余線段中，與過圓心的線段夾角較小的較長；從圓外一點向圓凸弧所引的線段中，延長線過圓心的一條最短，在其余線段中，在其余線段中，與延長線過圓心的線段夾角較小的較短，所引連線中只有兩條相等的連線，它們各在最短連線的一邊

已知：圓ABC，點D在圓ABC外，從點D向圓凹弧上引AD,ED,FD,CD，其中AD過圓心，∠ADE＞∠ADF＞∠ADC

求證：點D向圓ABC凹弧上所引的線段中，AD最長，ED＞FD＞CD

解：

求出圓心點M

（命題3.1）

連接ME，MF，MC，ML，MH

（公設(shè)1.1）

證：

∵圓ABC中，AM=EM

（定義1.15）

∴AM+DM=EM+DM

（公理1.2）

∵△DEM中，EM+DM＞ED

（命題1.20）

∴AM+DM＞ED

（公理1.1）

∵AM+DM=AD

（已知）

∴AD＞ED

（公理1.1）

同理可證，向凹弧上引的其它線段都小于AD

∵圓ABC中，EM=FM

（定義1.15）

∴EM+DM=FM+DM

（公理1.2）

∵∠DME＞∠DMF

（公理1.5）

∴ED＞FD

（命題1.24）

同理可證FD＞CD

已知：AD，ED，F(xiàn)D，CD交圓凸弧于點G，H，L，H

求證：點D向圓ABC凸弧上所引的線段中，

DG最短，DH＜DL＜DH

解：

連接MH，ML，MK

（公設(shè)1.1）

證：

∵點M是圓ABC的圓心

（已知）

∴MK=MG

（定義1.15）

∵△DMK中，MK+DK＞DM

（命題1.20）

∴DK＞DG

（公理1.3）

同理可證，向凸弧上引的其它線段都大于DG

∵點M是圓ABC的圓心

（已知）

∴MK=ML

（定義1.15）

∵DM公用，點K在△DML內(nèi)

（已知）

∴MK+DK＜ML+DL

（命題1.21）

∴DK＜DL

（公理1.3）

同理可證DL＜DH

求：從點D向圓ABC上引一條線段使其等于DK

解：

在DM上以點M為頂點在DM另一側(cè)作∠BMD=∠KMD，與圓ABC凸弧交點記為點B

（命題1.23）

求證：DB=DK，且所引線段中除DB外沒有別的線段與DK相等

證：

∵點M是圓ABC的圓心

（已知）

∴MB=MK

（定義1.15）

∵DM公用，∠BMD=∠KMD

（已知）

∴△DMB≌△DMK，DB=DK

（命題1.4）

設(shè)所引線段中還有DN=DK，其中∠NDM＞∠BDM

∵∠NDM＞∠BDM

（已知）

∴DN＞DB

（已證）

∵DN=DK，DB=DK

（已知）

∴DN=DB

（公理1.1）

∴大的等于小的，這是不可能的

∴所引線段中除DB外沒有別的線段與DK相等

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用