整理史濟懷老師視頻課中關(guān)于常微分方程的內(nèi)容，然后聊“無差異曲線”的形狀。

part 1 史濟懷老師視頻課微分方程部分

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導(dǎo)數(shù)的方程。

&2.3一階線性方程

先把之前聊過的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下——

線性方程——顧名思義，就是里面每一個含未知量x的項都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說是微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。

依然按照從簡單到復(fù)雜的順序，最簡單的線性方程是一階線性微分方程，所以我們就從這種類型開始了。

一階線性微分方程——即只含有一階導(dǎo)數(shù)的線性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程?！浑A線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——Q（x）恒為0；

非齊次方程——Q（x）不恒為0。

我們聊了一階線性微分方程的解法，今天我們來聊一種可以轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程的一階非線性微分方程——伯努利方程。

伯努利方程——形如dy/dx+P（x）y=Q（x）y^n的微分方程——其中n不為0、1。

解法——

1. 做一個簡單的變換我們就可以把它轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程——兩邊同時除以y^n，將方程變形為——[y^（-n）]dy/dx+P（x）[y^（1-n）]=Q（x）；

2. 令z=y^（1-n），dz/dx=[（1-n）y^（-n）]（dy/dx），[y^（-n）]dy/dx=[1/（1-n）]dz/dx；

3. 將2中各式代入1，得到——[1/（1-n）]dz/dx+P（x）z=Q（x）；

4. 將3中式子乘以（1-n），得到——dz/dx+（1-n）P（x）z=（1-n）Q（x）；

5. 第4步所得式子即為關(guān)于x的函數(shù)z的一階線性微分微分方程，我們按照解一階線性微分方程的方法接出z，y=z^[1/（1-n）]。

這就是伯努利方程的解法。

part 2?經(jīng)濟學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學(xué)》第三章：效用論——

引入了效用的概念——

效用——效用是指對商品滿足人的欲望的能力評價，或者說，效用是指消費者在消費商品時，所感受到的滿意程度。——一種主觀心理評價。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

預(yù)算約束——消費者在購買商品時，必然會受到自己的收入水平和市場上商品價格的限制，這就是預(yù)算約束。

預(yù)算線——預(yù)算線又被稱為預(yù)算約束線、消費可能線和價格線。預(yù)算線表示在消費者的收入和商品的價格給定的條件下，消費者的全部收入所能購買到的兩種商品的各種組合。

圖形——預(yù)算線的橫截距和縱截距分別表示全部收入用來購買商品1和商品2的數(shù)量。預(yù)算線的斜率是兩商品的價格之比的負(fù)值即-P1/P2。

預(yù)算線把平面坐標(biāo)圖分為三個區(qū)域：預(yù)算線上方的點，是消費者了利用全部收入都不可能實現(xiàn)的商品購買的組合點；預(yù)算線下方的點，表示消費者的全部收入購買該點的商品組合以后還有剩余；預(yù)算線上的任何一點，是消費者的全部收入剛好花完所能購買到的商品組合點?！A(yù)算線和坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域（含邊界），稱為消費者的預(yù)算可行集或預(yù)算空間。

預(yù)算等式——假定以I表示消費者的既定收入，以P1和P2分別表示商品1和商品2的既定價格，以X1和X2分別表示商品1和商品2的數(shù)量，那么，相應(yīng)的預(yù)算等式為：P1X1+P2X2=I，X2=-P1X1/P2+I/P2

——該式表示：消費者購買商品1和商品2的總支出等于他的全部收入。而且，可以用I/P1和I/P2來分別表示全部收入僅購買商品1或商品2的數(shù)量，它們分別表示預(yù)算線的橫截距和縱截距。

預(yù)算線的變動（四種情況）——

1. 兩商品的價格P1和P2不變，消費者的收入I發(fā)生變化——相應(yīng)的預(yù)算線的位置會發(fā)生平移；

2. 消費者的收入I不變，兩種商品的價格P1和P2同比例同方向發(fā)生變化——相應(yīng)的預(yù)算線的位置也會發(fā)生平移；

3. 消費者的收入I不變，商品1的價格P1發(fā)生變化而商品2的價格P2保持不變——預(yù)算線的橫截距I/P1也會發(fā)生變化，預(yù)算線的縱截距I/P2保持不變；

4. 消費者的收入I與兩種商品的價格P1和P2都同比例同方向發(fā)生變化——預(yù)算線不發(fā)生變化。

今天就到這里！