命題3.31：

在同一圓中，半圓所對(duì)的圓周角為直角，較大弓形內(nèi)的圓周角為銳角，較小弓形內(nèi)的圓周角為鈍角，優(yōu)弧所對(duì)的圓周角為鈍角，劣弧所對(duì)的圓周角為銳角

已知：圓ABCD，其中BC為直徑，點(diǎn)E為圓心，點(diǎn)A,點(diǎn)D在圓ABCD上

求證：∠BAC是直角，∠ABC＜一直角，∠ADC＞一直角

解：

連接AB，AC，AD，AE

（公設(shè)1.1）

延長(zhǎng)BA，點(diǎn)F在BA延長(zhǎng)線上

（公設(shè)1.2）

證：

∵點(diǎn)E為圓ABCD的圓心

（已知）

∴AE=BE

（定義1.15）

∴∠ABE=∠BAE

（命題1.5）

∵點(diǎn)E為圓ABCD的圓心

（已知）

∴AE=CE

（定義1.15）

∴∠ACE=∠CAE

（命題1.5）

∴∠ABE+∠ACE=∠BAC

（公理1.2）

∵△ABC中，∠CAF=∠ABE+∠ACE

（命題1.32）

∴∠CAF=∠BAC

（公理1.1）

∴∠BAC是直角

（定義1.10）

∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＜兩直角

（命題1.17）

∴∠ABC＜一直角

（隱藏公理）

∴兩直角＞∠ABC+一直角

（隱藏公理）

∵∠ABC+∠ADC=兩直角

（命題3.22）

∴∠ABC+∠ADC＞∠ABC+一直角

（公理1.1）

∴∠ADC＞一直角

（隱藏公理）

證畢

此命題將在命題3.32中被使用

來都來了，點(diǎn)個(gè)關(guān)注唄！