大數(shù)定理的核心是揭示了，單次孤立的隨機實驗結(jié)果是不可預(yù)計的，大量重復(fù)性實驗的平均結(jié)果是具有穩(wěn)定性的，隨機事件結(jié)果出現(xiàn)的頻率越來越趨向某個常數(shù)值收斂。這也就是能用頻率值代替概率值，能用樣本均值來代替總體均值。

設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E（x）= u，方差D（x） =? o2， 則對任意正數(shù)ε

首先是依概率分布，又稱p概率分布。隨著變量序列個數(shù)n的不斷增大，變量將會落在c周圍的區(qū)間內(nèi)的概率是趨近于1，而落在這個區(qū)間之外的概率為0.隨著n的增大，落在外面的概率越來越小

切比雪夫大數(shù)定律

設(shè)X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變量序列，數(shù)學(xué)期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)<C(i=1，2，…)，方差有界，則對任意給定的ε>0，有

隨機變量序列下的，均值與期望均值之差應(yīng)該趨近于0.，揭示了樣本均值與期望的關(guān)系，注意切比雪夫大數(shù)定理不用滿足同分布的要求。

對于獨立同分布的隨機變量序列則可以使用，辛欽大數(shù)定理。辛欽的要求不用方差純在也可以使用。

當(dāng)Xi為服從0-1分布的隨機變量時，辛欽大數(shù)定律就是伯努利大數(shù)定律，故伯努利大數(shù)定律是辛欽伯努利大數(shù)定律的一個特例。設(shè)fn為n重伯努利實驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為A在每次實驗中發(fā)生的概率，則對任意給定的實數(shù)ε>0，

即n趨向于無窮大時，事件A在n重伯努利事件中發(fā)生的頻率fn/n無限接近于事件A在一次實驗中發(fā)生的概率p。

大量獨立同分布的隨機變量之和的極限分布是正態(tài)分布，中心極限定理。