定理? ?設(shè)X，Y是度量空間，f；X→Y是連續(xù)映射。若X是緊的，則f（X）也是緊的。

推論? ?緊空間的連續(xù)像是緊的。

定理? ? 設(shè)X是度量空間，Y是X的子空間，則

(1)? 如果Y是X的緊子集，則Y是X的閉子集。

(2)? 如果X是緊空間且Y是X的閉子集，則Y是X的緊子集。

推論? ?設(shè)X是緊度量空間，Y是度量空間，若? f ； X→Y連續(xù)，則 f? 是閉映射。

推論? ?設(shè)X是緊度量空間，Y是度量空間，若f；X→Y是一一對(duì)應(yīng)且連續(xù)，則f；X→Y是同胚映射。

推論? 設(shè)X是非空集合，d，ρ分別是X上的兩個(gè)度量，若（X，d）是緊的且Tρ?Td，則Td=Tρ。

定理? ?設(shè)（Xn）n是一列（有限或無(wú)限）度量空間，X是其乘積，則X是緊的充分必要條件是每一個(gè)Xn都是緊的。

定理? ?度量空間中任意有限個(gè)緊集的并是緊的，緊集和閉集的交是緊的。

例子? I=【0，1】是緊的，從而R中任何閉區(qū)間都是緊的。

定理? ? ?度量空間中的緊集必為有界集。

定理? ? n維 Euclidean （R^n，d）中的子集A是緊的充分必要條件是A是（R^n，d）中的有界閉集。