題6.

(2)

即

方程

(xlnx-1)/x2=a

有兩根

x1，x2

即

方程

（lnxe^lnx-1）/e^(2lnx)=a

有兩根

x1，x2

設

lnx1，lnx2分別為t1，t2

即

方程

（te^t-1）/e^(2t)=a

有兩根t1，t2

設

h(t)=（te^t-1）/e^(2t)

有

h'(t)

=

(1+t)e^t-2(te^t-1)

/

e^(2t)

=

(1-t)e^(-t）+2e^(-2t)

即

h"(t)

=-e^(-t)-(1-t)e^(-t)-4e^(-2t)

=(t-2)e^(-t)-4e^(-2t)

即

h'''(t)

=e^(-t)-(t-2)e^(-t)+8e^(-2t)

=(3-t)e^(-t)+8e^(-2t)

且

lim(t→-∞)h(t)=-∞

lim(t→+∞)h(t)=0

設

h(m)=0

有

m＞0

設

h'(t。)=0

有

(1-t。)e^t。+2=0

0＜m＜t1＜t。＜t2

設

H(t)=h(t)-h(2t。-t)，t∈(m，t。）

有

H'(t)

=h'(t)+h'(2t。-t)

即

H''(t)

=h''(t)-h''(2t。-t)

有

me^m=1

即

e^(-m)=m

0＜m＜1

即

-4m2-8m＜0

即

2(t。-1)2-2m(t。-1）+m(m+1)＞0

即

m(1+m-2(t。-1）)+2(t。-1)2＞0

即

m(3+m-2t。)+2(t。-1)2＞0

即

4m(3+m-2t。)/(t。-1)2＞-8

且

(1-t。)e^t。+2=0??

即

e^(2t。)=4/(t。-1)2

即

(3-(2t。-m))e^(2t。-m)＞-8

即

t∈(m，2t。-m)

有

(3-t)e^t＞-8

即

(3-t)e^(-t)+8e^(-2t)＞0

即

h'''(t)＞0

且

t∈(m，t。）

有

t＜2t。-t

即

h''(t)-h''(2t。-t)＜0

即

H''(t)＜0

且

lim(t→t。-)H'(t)

=2h'(t。)

=0

即

H'(t)＞0

且

lim(t→t。-)H(t)=0

即

H(t)＜0

即

H(t1)＜0

即

h(t1)-h(2t。-t1)＜0

即

h(t1)＜h(2t。-t1)

即

h(t2)＜h(2t。-t1)

即

t2＞2t。-t1

即

t1+t2＞2t。

且

ln√2/√2＜1/e

即

eln√2＜√2

即

√2eln√2-2＜0

即

(ln(√2e)-1)e^ln（√2e)-2＜0

即

(ln(√2e)-1)e^ln（√2e)-2

＜

(t。-1)e^t。-2

且

ln(√2e)，t。＞0

即

t。＞ln(√2e)

即

2t。＞2+ln2?

即

t1+t2＞2+ln2

即

lnx1+lnx2＞2+ln2

即

ln（x1x2）＞2+ln2

得證

ps.

一家之言

如有謬誤

歡迎校正

亦

歡迎諸君

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