此前有個朋友問了我這個問題，現(xiàn)在想小結(jié)一下：

有個游戲角色被動技能是每次攻擊獲得1層buff，5層buff時攻擊必定暴擊，暴擊后buff清零，此外角色每次攻擊還有5%的默認(rèn)暴擊率，正常觸發(fā)的暴擊同樣會導(dǎo)致buff清零，請問這個角色每次攻擊的暴擊率期望值是多少？

當(dāng)然，這個問題的一個假設(shè)是這個游戲角色一直在攻擊，沒有間斷。

我當(dāng)時的回答是這樣的：

設(shè)任意時刻，觸發(fā)暴擊的概率是期望一樣的，為x：
1?假設(shè)此前5回合都不暴擊，那么本次暴擊的期望是(1–x)^5*1
2?否則，暴擊的概率是0.05，期望是(1-(1–x)^5)*0.05

顯然，x=(1–x)^5*1+(1-(1–x)^5)*0.05
5次方程沒有公式解，利用二分法求0到1之間的根即可

這個解法不能直接計(jì)算，但是可以得到關(guān)于x的方程。

考慮等價無窮?。?/p>

(1–x)^5≈(1-5x)；(1-(1–x)^5)≈5x

上述方程簡化為：

x=(1-5x)+5x*0.05
5.75x=1
x=4/23=0.174

直觀上來說，這個數(shù)值應(yīng)該至少為1/6，因?yàn)槊?次不暴擊，第六次就必然暴擊。此外，最多比1/6只能多0.05，即5%的默認(rèn)暴擊率。

1/6=0.16666……，而近似解0.174在合理范圍。

最后，就可以得到期望x和暴擊率，以及次數(shù)的一個近似線性關(guān)系，這個線性關(guān)系對于游戲設(shè)計(jì)顯然是有幫助的。